1.1变化率问题1.2导数的概念.doc

§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
问题1 气球膨胀率
（一）问题提出

问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了
h
t
o
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
为导数概念的引入做铺垫

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
（1）运动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3． 则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
（1）一起讨论、分析，得出结果；
（2）计算平均变化率的步骤：
①求自变量的增量Δx=x2-x1；
②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；
③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
例2． 求在附近的平均变化率。
解：，所以

所以在附近的平均变化率为
让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.

四、瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

五、导数的概念

设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0
（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（4）是函数对自变量在范围内的平均变化率.
（5），当时，，所以
（定义的变形）
要让学生理解导数概念
六、典例分析

例3、求y=x2在点x=1处的导数.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.
解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx
∴= (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2.
注意：(Δx)2括号别忘了写.
例4、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，

所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

七、引申
例6、函数满足，则当x无限趋近于0时，
（1）
（2）
变式:设f(x)在x=x0处可导，
（3）无限趋近于1，则=___________
（4）无限趋近于1，则=________________
（5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。

八、课堂小结
（1）理解平均变化率、导数的概念。
（2）求函数的导数的一般方法：
①求函数的改变量.
②求平均变化率.
③取极限，得导数＝.
补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度； Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度； Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度
解：瞬时速度v=
(10+Δt)=10 m/s.
∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s.
3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.
解：瞬时速度v=
=(8+2Δt)=8 cm/s.