1.3导数的几何意义.doc

§3．1．3 导数的几何意义
【学情分析】：
上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。
【教学目标】：
1.了解曲线的切线的概念
2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．
3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程
【教学重点】：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.
【教学难点】：
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、曲线的切线及切线的斜率：
圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。
曲线的切线
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
为课题引入作铺垫.
二、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
指导学生理解导数的几何意义，可以讨论
三、导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。

四、典例分析
例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
例2、求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.
分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a.
解：∵tana=

∵a∈［0，π，∴a=π.
∴切线的倾斜角为π.
例3．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例4．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4

通过例子，更深入理解导数的概念
五、课堂小结
导数的几何意义，怎么求曲线的切线。
补充题目:
1．导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在 处的 即：
２．函数平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。

1）平均变化率的几何意义：

2）当时，观察图形变化。

3．导数的几何意义是什么？导数的几何意义是
4．在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，
的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在.
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）
5．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）
(以上几题可以让学生在课堂上完成)
6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.
(1)y=－+2,　x＝２处　（２）y＝，x＝０处．
答案：(1)k=－１２，（２）k=－１
7．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.
解：(1)k=

∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2
8.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.
解：k=

∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.