选修22导数的四则运算课时作业.doc

课时作业5　导数的四则运算法则
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝sinx(1－cosx)的导数y′等于(　　)
A．cosx＋cos2x　　　　　　　　B．cosx－cos2x
C．sinx＋cos2x D．cos2x＋cos2x
【答案】　B
【解析】　y′＝(sinx)′(1－cosx)＋sinx(1－cosx)′
＝cosx(1－cosx)＋sinx(0＋sinx)
＝cosx－(cos2x－sin2x)
＝cosx－cos2x.
2．函数f(x)＝的导数是(　　)
A. B.
C. D.
【答案　C
【解析】　f′(x)＝＝ .
3．(2014·全国大纲)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
【答案】　C
【解析】　本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y′＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．
4．若函数y＝sin2x，则y′等于(　　)
A．sin2x B．2sinx
C．sinxcosx D．cos2x
【答案】　A
【解析】　∵y＝sin2x＝－cos2x
∴y′＝′
＝sin2x.故选A.
5．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0 B.
C．1 D.
【答案】　B
【解析】　f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′
＝excosx＋ex(－sinx)
＝ex(cosx－sinx)，
则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为
k＝f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1，
故切线的倾斜角为，故选B.
6．设点M(a，b)是曲线C：y＝x2＋lnx＋2上的任意一点，直线l是曲线C在点M处的切线，那么直线l的斜率的最小值为(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
【答案】　C
【解析】　由题可得y′＝x＋，
∴曲线C：y＝x2＋lnx＋2在点M(a，b)处的切线l的斜率为k＝a＋.
又∵a>0，∴斜率k＝a＋≥2，
当且仅当a＝1时，等号成立，
∴直线l的斜率的最小值为2，故选C.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．函数y＝xsinx－cosx的导数为____________．
【答案】　2sinx＋xcosx
【解析】　y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
8．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．
【答案】　4x－4y－1＝0
【解析】　y＝x2的导数为y′＝2x.
设切点M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.
∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，
∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.
∴x0＝.∴切点M为(，)．
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
【答案】　(2,1)
【解析】　设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，
∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝sin4＋cos4；
(3)y＝.
【分析】　对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数．(1)约分化简成和的形式；(2)利用三角恒等变换公式化简；(3)拆，分离常数．
【解析】　(1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝2x＋3x2＋4x3.
(2)∵y＝sin4＋cos4
＝(sin2＋cos2)2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·
＝＋cosx，
∴y′＝－sinx.
(3)y＝＝＝1－＝1－2(x2＋1)－1，
∴y′＝[1－2(x2＋1)－1]′＝0－(－2)(x2＋1)－2(x2＋1)′
＝2(x2＋1)－2·2x＝.
【规律方法】　对于较复杂的函数式求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
11．(13分)设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．
【解析】　∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点P处的切线的斜率
k＝y′|x＝＝24sin2·cos＝3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3，即6x－2y－π＋2＝0.
12．(14分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d的值．
【分析】　关键是先根据多项式恒等，找出a，b，c，d的关系式，再根据导数相等及f(5)＝30，求得a，b，c，d的具体值．
【解析】　∵f(2x＋1)＝4g(x)，
∴4x2＋(4＋2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
由f′(x)＝g′(x)得2x＋a＝2x＋c，
即a＝c.③
由①③得a＝c＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋b.
又∵f(5)＝30，即25＋10＋b＝30，
解得b＝－5.
将b＝－5代入②，得d＝－.
∴a＝2，b＝－5，c＝2，d＝－.
【规律方法】　利用求导公式与四则运算法则，并结合函数的对称性、单调性等，便能够准确求出函数的解析式或其参变量的值．