初中几何旋转典型例题归类.doc

初中几何旋转典型例题归类
1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？

解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a
所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
三个已知距离为1、2、3的问题：
2、在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？

解：
将△ABP旋转到△BCM，连接PM
显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135°
所以∠PBM＝∠ABC＝90°
所以△PBM是等腰直角三角形
所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45°
所以∠PMC＝135°－45°＝90°
所以三角形是直角三角形
根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36
所以PC＝6
3、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，求角CED=？

解：
将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF
因为△CDE≌△CBF
所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB
因为四边形ABCD是正方形
所以∠BCD＝90°
所以∠DCE＋∠BCE＝90°
所以∠BCF＋∠BCE＝90°
即∠ECF＝90°
所以△CEF是等腰直角三角形
所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45
因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1
所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K
所以EF＝2√2K，BF＝K
所以BE^2＝9K^2，EF^2＋BF^2＝8K^2＋K^2＝9K^2
所以BE^2＝EF^2＋BF^2
所以△BEF是直角三角形且∠BFD＝90°
所以∠CFB＝90°＋45°＝135°
所以∠CED＝∠CFB＝135°
这是一道典型的利用旋转变换进行解答的几何问题，与等边三角形中此类问题是同种问题
4、如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。

解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=1，PB=2，PC=3
所以PQ＝2√2，CQ＝1
所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°
所以∠BPA＝∠BQC＝135°
5、p为正方形ABCD内任意一点。PA=1.PB=5.PC=7.则正方形的边长为？

解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°
所以∠ABP＋∠CBP＝90°
所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°
所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°
因为PA=1，PB=5，PC=7
所以PQ＝5√2，CQ＝1
所以CP^2＝49，PQ^2=50,CQ^2＝1
所以PQ^2＝PC^2＋CQ^2
所以△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝90°
所以∠PBQ＋∠PCQ＝180°
所以P、B、Q、C四点共圆
所以∠PCB＝∠BQP＝45°
所以CP是∠BCD的平分线
因为四边形ABCD是正方形
所以CA平分∠BCD
所以A、P、C在同一直线上
所以AC＝PA＋PC＝8
所以AB＝AC/√2＝4√2
即正方形的边长是4√2

4