巧算和速算方法.doc

校本课程 数学计算方法

目 录
第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法 - 2 -
第二讲 常用巧算速算中的思维与方法（1） - 4 -
第三讲 常用巧算速算中的思维与方法（2） - 5 -
第四讲 常用巧算速算中的思维与方法（3） - 8 -
第五讲 常用巧算速算中的思维与方法（4） - 10 -
第六讲 常用巧算速算中的思维与方法（5） - 13 -
第七讲 常用巧算速算中的思维与方法（6） - 15 -
第八讲 小数的速算与巧算 - 17 -
第九讲 乘法速算1 - 18 -
第十讲 乘法速算2 20 -
第十一讲 乘法速算3 - 22 -
第十二讲 乘法速算4 - 23 -
第十三讲 乘法速算5 - 23 -
第十四讲 乘法速算6 - 25 -
第十五讲 乘法速算7 - 27 -
第十六讲 乘法速算8 - 29 -
注：《速算技巧》 - 32 -

第一讲 生活中几十乘以几十巧算方法
   1.十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？
解: 1 × 1 = 1
　 ２＋４＝６
　 ２×４＝８
12×14=168
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？
解：２＋１＝３
　　２×３＝６
　　３×７＝21
23×27=621
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 

３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？
解：3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 
４.几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？
解：2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861 

５.11乘任意数：
口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？
解：2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注：和满十要进一。 

６.十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×326=？
解：13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注：和满十要进一。
第二讲 常用巧算速算中的思维与方法（1）
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
1+2 +……+99+100

所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050
“3+5+7+………＋97+99=？

3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”
题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天。问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。
张丘建这一解法的思路，据推测为：如果把这妇女从第一天直到第30 天所织的布都加起来，算式就是：5＋…………＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来，则算式便是 ：1+………………＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：

所以，加得的结果是6×30=180（尺）
但这妇女用30 天织的布没有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，这妇女30 天织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
第三讲 常用巧算速算中的思维与方法（2）
方法一：分组计算
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。
例如：
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和
这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”？例如，求1 到12 这12 个自然数的数字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1＋2=5l。
显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10 亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将它们分组：
0 和999，999，999；1 和999，999，998；
2 和999，999，997；3 和999，999，996；
4 和999，999，995；5 和999，999， 994；
……… ………
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与添上的0 共10 亿个数，共可以分为5 亿组，各组数字之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
2+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋7=81
………………
最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。所以，此题的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001

方法二：由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。

容易看到，对角线上五个“5”之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2 那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。
（2）把自然数中的偶数，像图4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002 出现在哪一列：
列数
一
二
三
四
五

2
4
6
8

16
14
12
10

18
20
22
24

32
30
28
26

34
36
38
40

…… …… ……
图4.3
因为从2 到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。从前到后，是每8 个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个。故2002 应排在第二列。
方法三：凑整巧算
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
125×8-5
=1000-5
=995
第四讲 常用巧算速算中的思维与方法（3）
方法一：巧妙试商
除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。
（1）用“商五法”试商。
当除数（两位数）的10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8 或商9。
5742÷58=99，4176÷48=87。
（3）用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定商为“9”。
一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n 时，n 除m 的商才是9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做法的根据。
例如4508÷49=92，6480÷72=90。
（4）用差数试商。
当除数是11、12、13…………18 和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1 或2，则初商为9；差数是3 或4，则初商为8；差数是5 或6，则初商为7；差数是7 或8，则初商是6；差数是9 时，则初商为5。若不准确，只要调小1 就行了。
例如
1476÷18=82（18 与14 差4，初商为8，经试除，商8正确）；
1278÷17=75（17 与12 的差为5，初商为7，经试除，商7 正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

方法二：恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。
例如
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900
（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）
=359.8-10
=349.8

第五讲 常用巧算速算中的思维与方法（4）
方法一：拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
（1） 拆成两个分数相减。例如

又如

（2）拆成两个分数相加。
例如

又如

方法二：同分子分数加减
同分子分数的加减法，有以下的计算规律：
分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。
例如

（注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。）

由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，
根据这一关系，我们也可以简化运算过程例如

方法三：先借后还
“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如

做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。
第六讲 常用巧算速算中的思维与方法（5）
方法一：个数折半
下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。
（1）分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。
（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。比方

（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折
半法”求得数。
比方

方法二：带分数减法
带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。
（1）减数凑整。例如

（2）交换位置。例如

在这两种方法中，第（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。
例如

第七讲 常用巧算速算中的思维与方法（6）
方法一：带分数乘法
有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。
（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1 的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如

（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。例如

（注：这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。）
（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。例如

读者自己去试一试，此处略）。
方法二：两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。
例如

（2）分母相除，一次得商。在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。
例如

（注：用除法法则可以推出这种方法，此处略。）
第八讲 小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。用的时候主要看末位。但是小数计算中“小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<一>凑整法
例1、 计算5.6+2.38+4.4+0.62。
【分析】5.6 与4.4 刚好凑成10，2.38 与0.62 刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。
例2、计算：1.999+19.99+199.9+1999。
【分析】因为小数计算起来容易出错。刚好1999 接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。再把多加的那部分减去。
【解答】 1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。“1.999”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。
但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。“多减的”要“加上”！
第九讲 乘法速算1
　　一．前数相同的：
　　1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)×10+A×B
　　方法：百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
　　例：13×17
　　13 + 7 = 2- - （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
　　3 × 7 = 21
　　-----------------------
　　221
　　即13×17= 221
　　1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1, B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B
　　方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
　　例：15×17
　　15 + 7 = 22- （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
　　5 × 7 = 35
　　------
　　255
　　即15×17 = 255
　　1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B
　　方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
　　例：56 × 54
　　(5 + 1) × 5 = 30- -
　　6 × 4 = 24
　　----------------------
　　3024
　　1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B
　　方法1:先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
　　例：67 × 64
　　（6+1）×6=42
　　7×4=28
　　7+4=11
　　11-10=1
　　4228+60=4288
　　----------------------
　　4288
　　方法2：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
　　例：67 × 64
　　6 ×6 = 36- -
　　（4 + 7）×6 = 66 -
　　4 × 7 = 28
　　----------------------
　　4288
第十讲 乘法速算2
　二、后数相同的：
　　2.1. 个位是1，十位互补 即 B=D=1, A+C=10 S=10A×10C+101
　　方法：十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。
　　- -8 × 2 = 16- -
　　101
　　-----------------------
　　1701
　　2.2. <不是很简便>个位是1，十位不互补 即 B=D=1, A+C≠10 S=10A×10C+10C+10A +1
　　方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。
　　例：71 ×91
　　70 × 90 = 63 - -
　　70 + 90 = 16 -

　　1
　　----------------------
　　6461
　　2.3个位是5，十位互补 即 B=D=5, A+C=10 S=10A×10C+25
　　方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。
　　例：35 × 75
　　3 × 7+ 5 = 26- -
　　25
　　----------------------
　　2625
　　2.4<不是很简便>个位是5，十位不互补 即 B=D=5, A+C≠10 S=10A×10C+525
　　方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
　　例: 75 ×95
　　7 × 9 = 63 - -
　　（7+ 9）× 5= 80 -
　　25
　　----------------------------
　　7125
　　2.5. 个位相同，十位互补 即 B=D, A+C=10 S=10A×10C+B100+B2
　　方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。
　　例：86 × 26
　　8 × 2+6 = 22- -
　　36
　　-----------------------
　　2236
　　2.6.个位相同，十位非互补
　　方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
　　例：73×43
　　7×4+3=31
　　9
　　7+4=11
　　3109 +30=3139
　　-----------------------
　　3139
第十一讲 乘法速算3
　　2.7.个位相同，十位非互补速算法2
　　方法：头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
　　例：73×43
　　7×4=28
　　9
　　2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
　　-----------------------
　　3139

三、特殊类型的：
　　3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。
　　方法：互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。
　　例： 66 × 37
　　（3 + 1）× 6 = 24- -
　　6 × 7 = 42
　　----------------------
　　2442
第十二讲 乘法速算4
3.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。
　　方法：杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
　　例：38×44
　　（3+1）×4=16
　　8*4=32
　　1632
　　3+8=11
　　11-10=1
　　1632+40=1672
　　----------------------
　　1672
第十三讲 乘法速算5
3.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。
　　方法：乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
　　例：46×75
　　（4+1）*7=35
　　6*5=30
　　5-7=-2
　　2*4=8
　　3530-80=3450
　　----------------------
　　3450
　　3.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。
　　方法：凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。
　　例：56×36
　　10-6=4，3+1=4，36÷9也等于4
　　5*（10-6）=20
　　4*（10-6）=16
　　“注：（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷9）”
　　---------------
　　2016
　　3.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。
　　方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
　　例：74×56
　　（7+1）*5=40
　　4*6=24
　　7-5=2
　　2*6=12
　　12*10=120
　　4024+120=4144
　　---------------
　　4144
第十四讲 乘法速算6
　 3.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法
　　方法：不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
　　例：24×36
　　3>2
　　3*3-1=8
　　6^2=36
　　100-36=64
　　---------------
　　864
　　3.7、近100的两位数算法
　　方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
　　例：93×91
　　100-91=9
　　93-9=84
　　100-93=7
　　7*9=63
　　---------------
　　8463
　　3.8、头互补，尾不同的两位数乘法
　　方法：先确定乘数与被乘数，前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上乘数的个位数。后两位为被乘数与乘数尾数的积。再看被乘数末尾的数比乘数末尾数字小几或大几，小几就减几个乘数的头乘十，反之亦然
　　例：22×81
　　2*8+1=17
　　2*1=2
　　2=1+1
　　1702+1*80=1782
　　---------------
　　1782
　　Ｂ、平方速算
　　一、求11～19 的平方
　　同上1.2，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
　　例：17 × 17
　　17 ＋ 7 = 24-
　　7 × 7 = 49
　　---------------
　　289
　　二、个位是5 的两位数的平方
　　同上1.3，十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。
　　例：35 × 35
　　（3 + 1）× 3 = 12--
　　25
　　----------------------
　　1225
　　三、十位是5 的两位数的平方
　　同上2.5，个位加25，在得数的后面接上个位平方。
　　例： 53 ×53
　　25 + 3 = 28--
　　3× 3 = 9
　　----------------------
　　2809
　　四、21～50 的两位数的平方
　　求25～50之间的两数的平方时，记住1~25的平方就简单了, 11～19参照第一条,下面四个数据要牢记：
　　21 × 21 = 441
　　22 × 22 = 484
　　23 × 23 = 529
　　24 × 24 = 576
　　求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。
　　例：37 × 37
　　37 - 25 = 12--
　　（50 - 37）^2 = 169
　　--------------------------------
　　1369
第十五讲 乘法速算7
五、知道平方后的速算
　　5.1 相邻奇（偶）数的速算
　　方法取平均数的平方减去1
　　例：21*23
　　22^2=484，484-1=483
　　--------------------------------
　　483
　　5.2 两数相加为100的速算（限用于小数为25-49）
　　方法：将大数减去50，再用2500减去差的平方
　　例：36*64
　　64-50=14
　　2500-14^2=2500-196=2304
　　--------------------------------
　　2304
　　5.3 两数相加为100的速算（限用于小数为1-25）
　　方法，将小数乘以100，减去小数的平方即可
　　例：11*89
　　1100-11^2=1100-121=979
　　--------------------------------
　　979
　　5.4（三位乘三位）两因数第一位相同，后两位互补的乘法
　　方法：前两位为被乘数第一位加1和另一个被乘数第一位的积；后面四位为两个数字中每个数末尾两位的积
　　例：436*464
　　64-50=14
　　2500-14^2=2500-196=2304
　　4*5=20
　　--------------------------------
　　202304
　　5.5 和为200的两数乘法
　　方法：将大数百位上的1直接去掉，再用10000减去去掉后数的平方
　　例：127*73
　　27^2=729
　　10000-729=9271
　　--------------------------------
　　9271
　　5.6 两数字（三位数）后两位互补，百位数差一的乘法
　　方法：将大数百位上的数字直接去掉，再用大数平方减一作为前两位，后四位为10000减去去掉后数的平方
　　例：217*183
　　2^2=3
　　10000-17^2=10000=289=9711
　　--------------------------------
　　39711
　　5.7 十位数相差2，个位数相同的乘法
　　方法：取平均数的平方减去100
　　例：25*45
　　（25+45）÷2=35
　　35^2-100=1125
　　--------------------------------
　　1125
　　5.8 百位互补，后两位相同的乘法
　　方法：取两数的百位相乘加上并乘以10后加上后两位为前两位，后面三位为后两位的平方（位数不够用0补，满十进一）
　　例：323*723
　　3*7*10+23=233
　　23^2=529
　　--------------------------------
　　233529
第十六讲 乘法速算8
　六：多位数特殊算法
　　6.1 一数和为9，一数为顺子的算法
　　方法：凑9的数字按3.4条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数，中间的数字全部替换为上一步处理完的数。
　　例：45*234567
　　步骤1：4+1=5，10-5=5，45÷9=5（任选一个即可）
　　步骤2：5*2=10；5*（10-7）=15
　　步骤3：将中间的3456替换为全部替换为5
　　--------------------------------
　　10555515
　　6.2、一数和为9，一数为含890的顺的算法
　　方法：凑9的数字按3.4条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数中间的数字除9以外全部替换为上一步处理完的数，9替换成0，若0为结尾则先约掉0按6.1的方法算出答案后再补0。
　　例：36*6789012
　　步骤1：3+1=4，10-6=4，36÷9=4(任选一个即可)
　　步骤2：4*6=24；4*（10-2）=32
　　步骤3：将78901替换为44044
　　--------------------------------
　　244404432
　　6.3、一数和为9，一数为缺八顺的算法（末尾可以是789）
　　方法：凑9的数字按3.4条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数。中间的数字全部替换为上一步处理完的数。若0为结尾则先约掉0按6.1的方法算出答案后再补0。
　　例：36*567901234
　　步骤1：3+1=4，10-6=4，36÷9=4（任选一个即可）
　　步骤2：4*5=20；4*（10-4）=24
　　步骤3：将6790123全部替换为4
　　--------------------------------
　　20444444424
　　6.4、一数互补，一数为相同数的算法
　　方法：头加一和尾同时与相同数的任意一位数字相乘。 中间的数字位数为相同数的位数减2，数字不变
　　例：46*444444444
　　步骤1：（4+1）*4=20，6*4=24
　　步骤2：444444444有9个4，9-2=7，抄7个4
　　--------------------------------
　　20444444424
　　6.5、一数为相同数，一数位两位循环（相邻两位互补）的算法
　　方法：先将相同数的任意一位乘以循环节首位+1，再将相同数的任意一位乘以尾数，中间数字替换成相同数的任意一位数
　　例1：77*646464
　　步骤1：（6+1）*7=49，7*4=28
　　步骤2：将4646替换为7777
　　--------------------------------
　　49777728
　　例2：44*7373737
　　步骤1：（7+14=32，7*4=28
　　步骤2：将37373替换为44444
　　--------------------------------
　　324444428
　　6.6、多个9乘以任意数（位数要少于或等于前数的总位数）
　　方法：先将（任意数）－1，然后把（任意数）的位数和（多个9）比较位数的多少，少几位则在中间写几个9，写完9后写补数。熟练者可以直接看出位数，写补数。如果两个数位数相同，中间则没有9。
　　例：1536*999999
　　第一步：1536-1=1535
　　第二步：6（6个9）-4（1536是4位数）=2
　　第三步：10000-1536=8464
　　答案：1535998464
　　Ｃ、加减法
　　一、补数的概念与应用
　　补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。
　　例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。
　　补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。
　　Ｄ、除法速算
　　一、某数除以5、25、125时
　　1、 被除数 ÷ 5
　　= 被除数 ÷ (10 ÷ 2)
　　= 被除数 ÷ 10 × 2
　　= 被除数 × 2 ÷ 10
　　2、 被除数 ÷ 25
　　= 被除数 × 4 ÷100
　　= 被除数 × 2 × 2 ÷100
　　3、 被除数 ÷ 125
　　= 被除数 × 8 ÷1000
　　= 被除数 × 2 × 2 × 2 ÷1000

注：《速算技巧》
Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：15×17
15 + 7 = 22
5 × 7 = 35
---------------
255
即15×17 = 255
解释：
15×17
=15 ×（10 + 7）
=15 × 10 + 15 × 7
=150 + （10 + 5）× 7
=150 + 70 + 5 × 7
=（150 + 70）+（5 × 7）
为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。
例：17 × 19
17 + 9 = 26
7 × 9 = 63
连在一起就是255，即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘
方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。
例：51 × 31
50 × 30 = 1500
50 + 30 = 80
------------------
1580
因为1 × 1 = 1 ，所以后