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《植树问题》专题研究
在小学数学应用题中，有这么一类问题：以植树为内容，研究植树的棵树，棵与棵之间的距离，和需要植树的总长度等数量间关系的问题，称为植树问题。它也属于典型应用题之一，有它独特的解答方法。为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。与此同类的问题还有锯木头、爬楼梯、敲钟等。同样可以用植树问题的解法来解。
一、 线状路径的植树问题：
在线状路径上等距离植树，是把总距离按株距的长短平均分，有这样的多少段（叫做段数），就可以确定值多少棵树。一般来说，涉及总距离，株距，段数和植树的棵树等量。在线状路径上等距离植树可以分为一下几种情况：
①在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都植树。数量关系式是： 棵树=总长÷棵距+1； 即：棵数=段数+1.

例1：在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？
分析：这是在一段不封闭的直线上种树，首先应当先求出80米中包含了多少个16米，再根据“两端都种”，（即首尾都种）求出“共可以种树多少棵？”
解：①80米中包含了多少段？
80÷16=5（段）
②共可以种树多少棵？
5+1=6（棵）
答：共可以种树6棵.

例2： 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.
分析: 这是在一段不封闭的直线上电杆间隔问题，如同植树问题。首先应先求出公路全长为40×(121-1)，再根据其数量关系：根数=总长÷根距+1，变换为：根距=全长÷（根数-1），然后就可以求出两根相邻水泥杆之间的距离。
解 ①公路的全长为多少米？
40×（121-1）=4800
②两根相邻水泥杆之间的距离是多少米？
4800÷（51-1）=96
答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米。

练习：1、从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？
2、 甲村到乙村,原计划栽树175棵,相邻两棵树距离8米,后决定改为栽树117棵,问相邻两树应相距多少米?

②在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。数量关系式是：棵树=总长÷棵距－1； 即：段数-1

例3：在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少棵？
分析：这是在一段不封闭的直线上种树，两端因为有楼，所以都不种。这样，共种树的棵树，应当比段数少1。即在直线或两端不封闭的的曲线上植树，两端都不植树。
解：①50米中包含了多少段？
50÷5=10（段）
②共可以种树多少棵？
10-1=9（棵）
答：共可以种树9棵.

例4：下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？

分析：如上图所示。此题类似于两端都不植树的问题，关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据其数量关系知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，然后求出重叠部分的长，接着就可以求出五个铁环连在一起的长。同理，十个铁环连在一起的长度。
解：①五个连在一起的“环扣”数是多少？
5-1＝4(个)
②重叠部分的长为多少？
6×（5-1）=24（毫米）
③五个铁环连在一起的长是多少？
4厘米=40毫米
40×5-24=176（毫米）
④十个铁环连在一起的长度是多少？
40×10-24=346（毫米）
答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。

练习：3、有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？
4、 一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后两车相隔5米,问这列车队共长多少米?

③在封闭线路上植树。数量关系式是：棵树=总长÷棵距。 即：棵树=段数

例5：人民公园环湖路长6900米，沿湖边每隔15米种一棵树，每3棵树之间安放一条长椅供游人休息。求共要种树多少棵？安放椅子多少条？
分析：这是在封闭曲线上植树可直接用公式：“棵树=总长÷棵距”求解。而“每3棵树之间安放一条长椅”，正好是每隔一段棵距放一条椅子，椅子数正好是棵树的一半。
解：①共要种树多少棵？
6900÷15=460（棵）
②安放椅子多少条？
460÷2=230（条）
答：共要种树460棵，安放椅子230条。

例6： 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵?
分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,首先可以求出四周共可以种多少棵柳树，再求出相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树的棵树。最后可求出共种的杨树棵树。
解：①四周可种多少棵柳树？
2430÷9=270（棵）
②相邻柳树间，每隔3米种杨树，每段可种杨树多少棵？
9÷3-1=2（棵）
③总共可种杨树多少棵？
2×270=540（棵）
答:水库四周要种杨树540棵.

练习：5、公园的一个湖的周长是1800米,在这个湖的周围每隔20米种一棵柳树.然后在每两棵柳树之间每隔4米种一棵迎春花,需要柳树多少棵、迎春花多少棵?
6、明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?

④在方正形路上植树：如果每个顶点都要植树，数量关系式是：棵数=（每边棵数-1）×边数，由此可以推出在此种路径下等距离植树的数量关系为：棵树=边长÷棵距+1。

例7：一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每条边上都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？
分析：沿正方形的四周种树，看似在封闭线路上植树。但由于四个角上都种上了树，，是每边都种了16棵树，实际上是等同于在不封闭直线上种树，每边实际分成了（16－1）段。这样就可以用“边长÷（16－1）”求出棵距。当然，也可以用：“周长÷（16×4－4）” 求出棵距。
解1：
1200÷4÷（16－1）=20(米)
解2：
1200÷（16×4－4）=20(米)
答：每棵树之间相距20米。

练习7、有一个正方形池塘,在它四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都有5棵,问池塘四周共种树多少棵?

二、 在面状区域上的植树问题
在一个平面区域里等距离，等株距植树的问题，一般是先算出每一棵树所占的面积：行距×株距，就可以求出植树的棵树，其数量关系是：棵树=总面积÷（行距×株距）。

例8：长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？
分析： 这道题就是一个在平面区域里等行距、等株距植树的问题。根据题意，可以先算出长方形地的面积，再求出一共能种多少棵树。还有一种方法，先算出一行能种多少棵树，在算出能种苹果树多少行，最后这块地共种苹果树多少棵。
解法一： ①一行能种多少棵？
84÷2=42(棵)．
②这块地能种苹果树多少行？
54÷3=18(行)．
③这块地共种苹果树多少棵？
42×18=756(棵)．
如果株距、行距的方向互换，结果相同：(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．
解法二： ①这块地的面积是多少平方米？
84×54=4536(平方米)．
②一棵苹果树占地多少平方米？
2×3=6(平方米)．
③这块地能种苹果树多少棵？
4536÷6=756(棵)．
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种方法。

练习8、在一块长方形地里种植，这块地长150米，宽120米，按行距3米，株距2.5米种植，如果成活率为96％，这块地里成活多少棵树苗？

三、 锯木头问题
锯木头问题也属于植树问题，可得到：木头锯成的段数=锯的次数+1，由此可以得出其数量关系为：锯完所需时间=次数×每锯一次的时间；每段木头的长度=木头原来的总长÷段数。

例9：一个木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条，每根短木条多少米？
分析：这是植树问题的同类问题——锯木头问题。这道题实际上是将一根长18米的木料锯了5次，锯成了6段，求每段木头的长度，可用总长÷锯的次数。
解、①实际上锯的总长度是多少？
19-1=18（米）
②共锯成了多少段？
5+1=6（米）
③每段短木条的长度多少米？
18÷6=3（米）
答：每段短木条的长度3米.

例10：有一个工人把12米的圆钢锯成3米长的小段，锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？
分析：这道题首先可以求出共锯了多少段，要锯多少次，然后再求需要多少分钟，根据锯完所需时间=次数×锯一次所需的时间。
解、①共锯了多少段？
12÷3=4（段）
②要锯多少次？
4-1=3（次）
③共需要多少分钟？
3×5=15（分）
答：共需要15分钟。

练习9、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
10、有2根木料，打算把每根锯成3段，每段锯开一处需要3分钟，全部锯完需要几分钟？

四、 敲钟问题
敲钟问题是植树问题的应用，同样可以用植树问题的解法来解，可得到：敲钟次数=间隔数+1.由此也克得到其数量关系为：总时间÷间隔数=每个间隔数。其与“在不封闭直线上的植树”情况相似。

例11：有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在要敲12下，那么，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？
分析：这是植树问题的应用，可以看作是在不封闭直线上的“种树”。首先，需要求出两响之间的间隔；然后，再求需要的时间。（43－3）是“敲响第一下到最后一下”的总时间，（6－1）是“敲响第一下到最后一下”的间隔数，总时间÷间隔数=每个间隔数（即两响之间的间隔）。然后，按照“在不封闭直线上的种树”的公式，求出一共需要多少秒？
解：①两响之间的间隔是多少秒？
（43－3）÷（6－1）=8（秒）
②敲响12下，一共需要多少秒？
8×（12－1）+3=91（秒）
答：敲响12下，一共需要91秒。

练习11、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒敲完？

五、 爬楼梯问题
爬楼梯问题也是植树问题的一个延伸。根据植树问题的解题方法可得到：间隔数=终点楼层-起点楼层。由此也可得出其数量关系为：所需时间=走每段楼梯所用的时间×段数。

例12：父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。
分析：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，可先算出儿子踏过的台阶数和父亲踏过的台阶数。由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，再算出共重复踏了的台阶数。最后求得父子俩共踏了台阶个数。
解：儿子踏过的台阶数为多少个？
300÷2＝150(个)，
‚父亲踏过的台阶数为多少个？
300÷3＝100(个)
ƒ重复踏了的台阶数为多少个？
300÷（2×3）＝50(个)
④父子俩共踏了台阶个数为多少个？
150＋100-50＝200(个）
答：父子俩共踏了200个台阶。

练习12：小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

解植树问题时要记住：在牢记公式的基础上，根据实际灵活运用；注意线段图的运用，这样，可以更形象的发现数量间的变化。