初一几何平行线的性质及判定.doc

平行的性质及判定
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模块一 平行的定义、性质及判定

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定 义
示例剖析
平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“”表示．
，等．

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．

若，则；
若，则；
若，则．

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．

若，则；
若，则；
若，则．

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

过直线外一点做，，则与重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．

若，则．

夯实基础

【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上都不对

⑵ 和是同旁内角，若，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵，∴
D．∵，∴
(北京三帆中学期中)

⑷ 如图，直线a∥b，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）

A．50°　　　B．40°　　　C．150°　　　D．130°

(北京101中期中)

⑸ 如图，直线，，为垂足，如果
，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

(北京八中期中)
⑹ 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______

(北京八十中期中)

⑺ 如图，和互补，那么图中平行的直线有（ ）

A． B． C． D．

(北京十三分期中)
⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
(北京十三分期中)
⑼ 如图，直线，，，那么的度数是 ．

(北京一六一中期中)
⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于 ．

(北京一六一中期中)

【解析】 ⑴D； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.

【例2】 ⑴ 如图，,,请说明，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．
解：∵，
∴（ ）．
∵，
∴ （等量代换）．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
（北京市海淀区期末）

⑵ 填空，完成下列说理过程.
如图，平分交于点，，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.
解：∵平分，
∴∠3＝∠ （ ）
∵= °，且，
∴∠1＋∠2＝90°.
又∵∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3. （ ）
∴∠2＝∠4.

（北京市朝阳区期末）
⑶ 如图,已知，，求度数．

解：∵（ 　 ），
∴ （ 　 ），
（ 　 ）
又∵（ 　 ）
∴ （ 　 ）
（ 　 ）
∴（ 　 ）
∴ （ 　 ）

【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．
【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等
⑵ 4，角平分线定义180，同角的余角相等
⑶ 已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义．
能力提升

【例3】 ⑴ 如图，已知直线， ，，则
的度数为 度．

A

B
C
D
E

⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的
条件： .

⑶ 如图，点在的延长线上，给出下列条件：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ .
能说明的条件有 .
A
E
B
G
C
D

M
H
F
1
2
3

⑷ 如图，直线分别与直线、相交于点、，
已知，平分交直线于点．
则（ ）
A． B．
C． D．

【解析】 ⑴ ∵，（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（对顶角相等）．
∵（已知），
∴（三角形内角和）．
⑵ （）等（答案不唯一）
⑶ ②④⑤； ⑷ A．

【例4】 ⑴ 已知：如图1，平分，，，求．
⑵ 已知：如图2，，和互余，于．求证：．
(北京八中期中)

图1 图2

【解析】 ⑴ ∵
∴
∵CD平分
∴
⑵ 证明：∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（平角定义）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）

【例5】 如图，已知：，直线分别交、于点、，
、分别平分、. 求证：．
从本题我能得到的结论是：

【解析】 ∵，∴
又∵、分别平分、
∴，∴
从本题我能得到的结论是：两直线平行，同位角的角分线平行.
引导学生举一反三，可得：两直线平行，内错角的角分线平行；
两直线平行，同旁内角的角分线互相垂直.

模块二 基本模型中平行线的证明

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模 型
示例剖析

若，则

若，则

若，则

若，则

夯实基础

【例6】 已知：如图,点为其内部任意一点，
求证：．
【解析】 过点作,
∵,（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵,（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（等量代换）

能力提升

【例7】 如图，已知，，，
求的度数．

【解析】 过点作．
∵且（已知）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵且（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵且（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴
探索创新

【例8】 如图，已知，，
，求的度数．

【解析】 如图延长交直线于点
∵，（已知）
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（等量代换）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴
【点评】通过辅助线将相关角联系起来.

判断对错：图中与为同位角（ ）

【解析】 ×

_和不是被同一条直线所截

判断对错：垂直于同一条直线的两直线互相平行（ ）
【解析】 ×

_易忘记大前提“在同一平面内”

实战演练

题号

班次
1
2
3
4
5
6
7
8
基础班
√
√
√

√

√

提高班
√
√
√

√

√
尖子班

√

√

√
√
√

知识模块一 平行的定义、性质及判定 课后演练
【演练1】 已知如图，，，与平行吗？为什么？

【解析】 ∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
【演练2】 ⑴ 如图1，，，，则的度数是 ．
⑵ 如图2，直线与直线，相交．若，，则的度数是 ．
⑶ 如图3，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
图2

【解析】 ⑴ ；⑵ ；⑶ C．

【演练3】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：
①∵（已知）
∴（ ）
②∵（已知）
∴（ ）
③∵（已知）
∴（ ）
（北京市东城区期末）
⑵ 如图：已知，，求证：① ②
证明：∵（ ）
∴（ ）（ ）（ ）
∴（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）（ ）（ ）

⑶ 如图，∵（已知），（已知）
又∵ （ ）
∴ ）
∴（ ）

【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行；
③ 同旁内角互补，两直线平行．
⑵ 已知，，；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；；
等量代换；，；同位角相等，两直线平行．
⑶ 2；3；对顶角相等；1；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【演练4】 ⑴ 已知：如图1，，，，求证：．
(北京三帆中学期中)
证明：∵，（已知）
∴
∴ （ ）
又∵（已知
∴ （ ）
∴ （ ）
∴（ ）
⑵ 如图2，，，．将求的过程填写完整．
(北京四中期中)
解：∵，
∴ （ ）
又∵
∴（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
又∵
∴ ．

【解析】 ⑴；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；
平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
⑵；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；;
两直线平行，同旁内角互补；110°．
【演练5】 如图，已知，平分，平分，
，求证：．

【解析】 ∵平分，平分，
∴，∴，∴
∵，∴，即

【演练6】 如图，已知，，试判断与的大
小关系，并对结论进行证明．

【解析】 法一：∵，∴
∴，∴
∵，∴
∴，∴
法二：延长，找的同位角，证出，再找的内错角，证出即可．

知识模块二 基本模型中平行线的证明 课后演练

【演练7】 如图，已知，，，
则 .

【解析】 分别过点，做和的平行线，易得：.

【演练8】 已知：如图，点为其内部任意一点，. 求证：.

【解析】 如图过点做,
∵
∴,
∵

∴
∴
又∵
∴

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第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版