大一上学期工科高数期末考试题多年.docx

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每题4分, 共16分)
1. .
〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕不可导.
2. .
〔A〕是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 〔B〕是等价无穷小；
〔C〕是比高阶的无穷小； 〔D〕是比高阶的无穷小.
3. 假设，其中在区间上二阶可导且，那么〔 〕.
〔A〕函数必在处取得极大值；
〔B〕函数必在处取得极小值；
〔C〕函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；
〔D〕函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
4.
〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕.
二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕
5. .
6. .
7. .
8. .
三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕
9. 设函数由方程确定，求以与.
10.
11.
12. 设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.
13. 求微分方程满足的解.

四、 解答题〔本大题10分〕
14. 上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题〔本大题10分〕
15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线与x 轴围成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题〔本大题有2小题，每题4分，共8分〕
16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.
17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使〔提示：设〕
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题〔本大题有4小题，每题4分，共16分〕
5. . 6..7. . 8..
三、解答题〔本大题有5小题，每题8分，共40分〕
9. 解：方程两边求导

，
10. 解：

11. 解：

12. 解：由，知。

，在处连续。
13. 解：

，
四、 解答题〔本大题10分〕
14. 解：由且，
将此方程关于求导得
特征方程： 解出特征根：
其通解为
代入初始条件，得
故所求曲线方程为：
五、解答题〔本大题10分〕
15. 解：〔1〕根据题意，先设切点为，切线方程：
由于切线过原点，解出，从而切线方程为：
那么平面图形面积
〔2〕三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，那么
曲线与x轴与直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题〔本大题有2小题，每题4分，共12分〕
16. 证明：

故有：
证毕。
17.
证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且
由题设，有，
有，由积分中值定理，存在，使即
综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在
和，使与，即.

05级高等数学试题A-1

一、填空题〔每题4分，共20分〕

(1) 假设，那么〔 〕
(2) 设当时, 与是等价无穷小,
那么常数〔 〕
(3) ＝〔 〕
(4) 〔 〕
(5)

二、选择题〔毎小题4分，共40分〕
(1) 以下广义积分收敛的是

(2) 函数的连续区间为
(A)；(B)　；　(C)　；(D)

(4) 以下各命题中哪一个是正确的

在内的极值点，必定是的根
的根，必定是的极值点
在取得极值的点处，其导数必不存在
(D) 使的点是可能取得极值的点

(5) 那么＝ .
(A) (B) (C) 1 (D)

(6) 设函数由参数方程确定，那么
(A) 1 (B) 2 (C) 2t (D)

(7) 设函数,那么方程实
根的个数为
(A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个

(8) 椭圆绕轴和轴旋转的体积分别为，那么有
(A) (B)
(C) (D)

(9) 点是函数的连续点
(A) 振荡连续点 (B) 可去连续点
(C) 跳跃连续点 (D) 无穷连续点

(10) 曲线
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

三、〔6分〕求极限
四、〔6分〕存在，且，求
五、〔6分〕，求
六、〔6分〕星形线围成的图形为,
求的面积
七、〔6分〕证明：方程只有一个正根。
八、〔6分〕是由参数表示式x=所确定的函数， 求
九、〔4分〕 设
证明在处连续且可微，但在处不连续。

2006级高等数学试题A-1

一、填空题〔每题4分，共20分〕
(1) 假设，那么〔 〕.
(2) 设当时, 与是等价无穷小,那么常数〔 〕.
(3) 〔 〕.
(4) 〔 〕.
(5) .
二、选择题〔毎小题4分，共40分〕
(1) 以下广义积分收敛的是.
(2) 函数的连续区间为.
(A) (B)
(C) (D)
.

(4) 以下函数中在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 .
(A) (B) (C) (D)
(5) 设在点可导，且，那么 .
〔A〕4 〔B〕 〔C〕 〔D〕-2
(6) 设函数由参数方程确定，那么.
(A) 0 (B) (C) (D)

(7) 设函数,那么方程实根的个数为.
(A) 2个 (B) 3个 (C)4个 (D) 5个
(8) 椭圆绕轴旋转的体积为那么有.
(A) (B) (C) (D)
9) 点是函数的连续点.
(A) 振荡连续点 (B) 可去连续点
(C) 无穷连续点 (D) 跳跃连续点
(10) 曲线.
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

三、〔6分〕求积分.
四、〔6分〕存在，且，求.
五、〔6分〕，求 .
六、〔6分〕求心脏线所围平面图形的面积().
七、〔6分〕证明：假设,那么方程有唯一实根.
八、〔6分〕是由参数所确定的函数， 求.
九、〔4分〕
(其中),问取何值时,在连续。〔请详细写明过程〕.

07级高等数学〔上〕试题A

一、填空题〔每题4分，共20分〕
(1) 极限〔 〕。
(2) 设在处连续,那么〔 〕。
(3) 〔 〕。
(4) 设那么〔 〕。
(5) 广义积分〔 〕。
二、选择题〔毎小题4分，共40分〕
(1) 设当时,与〔 〕是等价无穷小。
(A) (B) (C) (D)
(2) 设,那么。
(A) (B) (C) (D)

(3)。
(A) (B) (C) (D)
(4) 设在上可导，且，假设，那么以下说法正确的选项是 。
(A) 在上单调减少 (B) 在上单调增加
(C) 在上为凹函数 (D) 在上为凸函数
(5) ，那么极限。
(A)1 (B) (C) (D)-2
(6) 设函数由参数方程所确定，那么。
(A) (B) (C) (D)
(7) 设函数,那么方程实根的个数为。
(A) 2个 (B) 3个 (C)4个 (D) 5个
(8) 曲线与直线,轴所围成的图形绕轴旋转形成的旋转体的体积为那么有。
(A) (B) (C) (D)
(9) 是函数的连续点。
(A) 振荡连续点 (B) 可去连续点
(C) 无穷连续点 (D) 跳跃连续点
(10) 曲线的水平渐近线为 。
(A) (B) (C) (D)
三、〔6分〕求积分。

四、〔6分〕设函数由方程所确定，求。

五、〔6分〕讨论函数在处的连续性。

六、〔6分〕证明：

七、〔8分〕设函数，试求的极大值。

八、〔8分〕设连续函数满足，求
。
2021级高等数学试题A-1

一、选择题〔毎小题4分，共40分〕
(1) 设当时，与等价的无穷小是〔 〕．
(A) (B) (C) (D)
(2) 设 ，那么在点〔 〕．
(A) 左连续但不右连续 (B) 右连续但不左连续
(C) 连续 (D) 既不左连续也不右连续
(3)　〔 〕．
(A) 　(B) 　 (C) 　 (D)
(4) 以下广义积分收敛的是〔 〕．
(A) ；(B)　 ；　(C)　 ；(D)
(5) 由曲线所围成的平面图形的面积是〔 〕．
(A) (B) (C) 　 (D)
(6) 设在点的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，那么必有〔 〕．
(A) 是极值点，不是拐点
(B) 是极值点，不一定是拐点
(C) 不是极值点，是拐点
(D) 不是极值点，不是拐点
(7) 在的某邻域内有定义，且，如果
，那么在处〔 〕．
(A)　不可导 (B) 驻点 (C) (D)
(8) 设函数在处有极值2，那么之值〔 〕．
(A) (B)
(C) (D)
(9) 方程共有 个正根。
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
(10) 曲线的渐近线是〔 〕．
(A) (B) (C) (D)

二、填空题〔每题4分，共20分〕
(1) 假设，那么 ．
(2) 由参数方程确定的函数，那么
．
(3) 设，那么 ．
(4) = ．
(5) 设，那么= ．
三、〔6分〕求极限：
四、〔6分〕求积分．
五、〔6分〕证明：当时，．
六、〔6分〕求由曲线，直线与x 轴、y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得立体之体积．

七、〔6分〕设函数，试求在 上的最小值．

八、〔6分〕设的原函数为，且，当时，有，试求．
九、〔4分〕设连续函数在内满足，且，求。

2021级高等数学试题〔A-1〕

一、选择题〔毎小题3分，共36分〕
1．当时，假设为等价无穷小，那么a,b,c之值一定为〔 〕
(A) (B)为任意常数
(C)为任意常数 (D)a、b、c均为任意常数
2．极限的结果是〔 〕
〔A〕0 〔B〕1 〔C〕 〔D〕不存在但也不是
3．( )
(A) 0 (B) (C) 1 (D) 不存在
4．设，其中处可导，且
，那么是的〔 〕
〔A〕连续点 〔B〕第一类连续点
〔C〕第二类连续点 〔D〕不能由此确定是连续点还是连续点
5．设，那么〔 〕
〔A〕 〔B〕1 〔C〕 〔D〕
6．假设函数在点处取得极大值，那么必有( ).
(A) (B)
(C) (D)
7．〔 〕
〔A〕0 〔B〕 〔C〕 〔D〕
8．假设的导函数为，那么有一个原函数为〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
9．由曲线与直线所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积是( ).
(A) (B) (C) (D)
10． 区间上满足罗尔定理条件的函数是( ).
(A) (B) (C) (D)
11．函数在区间〔 〕内是单调减少的并且其图形是凸的。
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
12．以下反常积分收敛的是〔 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
二、填空题〔每题4分，共32分〕
1．当a=__________时，函数在连续。
2． 函数的阶麦克劳林展开式中含项的系数是____________________。
3．设由方程组 确定，那么 。
4．曲线的拐点是 。
5．曲线在处的切线方程
为__________________ 。
6．函数的可去连续点为___________________。
7．由曲线与所围图形的面积是 。
8． 。

三、解答题〔共32分〕
1．〔7分〕 求极限
2．〔7分〕计算定积分，其中。
3．〔6分〕求由方程所确定的函数的微分。
4．〔6分〕求函数 在的最大值。
5．〔6分〕证明：当时，。
05级高等数学试题A-1标准答案与评分标准

制定教师 刘春凤 审核人 米翠兰

一、填空题〔每题4分，共20分〕解：
(1) .；(2) ； (3) ；(4) 500500 ；(5)
二、选择题〔毎小题4分，共40分〕解：
DCCDD；BCCCD

三、〔6分〕
解： ……………….2分
……………….4分
……………….6分

四、〔6分〕
解： ……………….3分
又
……………….6分
五、〔6分〕
解： ……………… 2分
……………… 3分
………….6分
六、〔6分〕
解： ………….3分
………….4分

………….6分
七、〔6分〕
证明：存在性：设
，
所以至少存在一个正根 ………….3分
惟一性： 又
单调递增，只有一个正根。 ………….6分
八、〔6分〕
解： …………4分
………….6分

九、〔4分〕
解： 连续 ………….1分
可微 ………….2分
………….3分
不存在
在处不连续。 ………….4分
2006级高等数学〔A-1〕标准答案与评分标准
制定教师 刘春凤 审核人 马醒花

一、填空题〔每题4分，共20分〕
(1) .；(2) ； (3) ；4) 250000 ；(5)
二、选择题〔毎小题4分，共40分〕
DCBADCBADB
三、〔6分〕
解法1：
微分局部 积分局部

………….2分
1
0 ……….4分
=-
++C ………….6分
解法2:

……… .2分
………….4分
………….6分

四、〔6分〕
解： ……………….3分
又 …… ……………4分
…
…………………….6分
五、〔6分〕
解： ………………3分
……………….6分
六、〔6分〕
解：
……………….2分
……………….4分

……………….6分

七、〔6分〕
证明一： 因为三次多项式可能有三个实根或一个实根，
如果有三个实根，根据罗尔定理至少有两个实根，………….3分

而，当时，没有实根，如此方程
只有一实根。… ……….6分
证明二： 因为，且，所以一定有实根。 ….2分
因为；所以；
因为，所以。
所以，即单调递增。 …….5分
所以有唯一的实根。 …….6分

八、〔6分〕
解： ………….4分
………….6分
九、〔4分〕
解： 令
………….2分
………….3分
又因为，所以只要， 在连续. …….4分
07级高等数学〔上〕试题A卷答案

一、(1) 0 (2) 2 (3) 〔4〕 (5) 1
二、C C D C B A B C D B
三、解： ………….2分

………….4分
………….6分
四、解：将原方程转化为 ………….2分
两边对求导得：
，
即 ………….4分
，所以， 。 ………….6分
五、解:, ………….4分
,所以在处连续. ………….6分
六、证明：令，那么在内连续，
，当时，，所以单调增加， ………….2分
又，所以当时，，所以单调增加， ………….4分
又，所以，即，即.………….6分

七、解：令, 得， ………….2分
于是 ………….4分
当时，取得极大值，极大值为…….6分
当时，取得极大值，极大值为. …….8分
八、解：令，那么，…….4分
所以 …….6分
又，所以
原式. …….8分
2021级高等数学〔A-1〕标准答案与评分标准

制定教师 米翠兰 审核人 刘春凤

一、选择题〔毎小题4分，共40分〕
ABADD；CCADA
二、填空题〔每题4分，共20分〕
(1) .；(2) 12； (3) 2 ；(4) ；(5)
三、〔6分〕
解：
………………. 2分
………………. 3分
………………. 4分
……………….6分
四、〔6分〕
解：
……………….2分
………………4分

………………6分
五、〔6分〕
解： ……………….2分

……………….4分
从而
所以当时，。 ……………….6分
六、〔6分〕
解： ………………4分
………………4分
七、〔6分〕
解：令得， ……………….2分
，
在取得极小值，
又在内连续且有唯一的极小值，故也是最小值,
……………….4分
最小值为
.
……………….6分
八、〔6分〕
解：由=与 ………………2分
得 ………………4分
= ………………6分
九、〔4分〕
解： ……….2分

……….4分
2021级高等数学〔A-1〕标准答案与评分标准
制定教师 刘春凤 审核人 肖继先

一、填空题〔每题3分，共36分〕
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
B
C
D
B
A
B
D
C
D

二、选择题〔毎小题4分，共32分〕
(1) (2) (3) (4) (5)
(6)可去连续点：〔7〕 〔8〕
三、解答题〔共32分〕

1.〔7分〕原式= …………………………〔2分〕
==
= …………………………〔7分〕
2.〔7分〕 …………………………〔2分〕
= …………………………〔4分〕
=
= …………………………〔7分〕
3.〔6分〕
方程两端同时微分得：，
故， …………………………〔3分〕
即
整理得： …………………………〔6分〕
4.〔6分〕，驻点为。
，
所以函数在处取得极大值，又在内连续且有唯一的极大值，故也是最大值。 …………………………〔3分〕

=。 …………………………〔6分〕

5.〔6分〕令， …………………………〔1分〕
那么连续、可导且。
，
可得。 …………………………〔3分〕
，显然有，
所以单增，即当时，，
所以单增，故当时，，
结论成立。 …………………………〔6分〕