大一高数基础练习题.docx

大一高数基础练习题
《高等数学》（理工类）
1.设的定义域为，，则复合函数的定义域为________；
2.已知时，与是等价无穷小，则______；；
3．函数，则________；；
4．函数的拐点为____________；，
5．设函数 ，当=____时， 在处连续；；
6. 设是由方程所确定的隐函数，则__；
7．函数的跳跃间断点是______；；
8．定积分＝________；
9．已知点空间三个点则ÐAMB= _______；；
10．已知，则＝_________。
二、计算题（每小题6分，共42 分）
1．求极限。
2．求极限=
3．设求。
4、设 求以与。
解 ，，
5．计算不定积分。
解
6、计算不定积分
7．计算定积分

三、证明题（每小题8分，共16 分）
1、设在区间上连续，在区间内可导，且，，试证必存在使。
证明 因为在上连续，所以在上连续，且在上有最大值和最小值。于是
所以 由介值定理知至少存在，使。
因为，且在上连续，在内可导，由罗尔定理存在，使 。
2、证明不等式：当时， 。
证明 ，，
，则当时，
四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）
1．要建造一个体积为的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？
解 设圆柱体的半径为，高，表面积为,，
，，表面积最小。
2．求曲线，直线，与轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体体积。
解

《高等数学》（理工）
一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）
1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（   ）；；
、； 、
、； 、。
2、设函数在处连续,则（   ）；；
、； 、； 、； 、、
3、设在上可导，且若，则下列说法正确的是（   ）；；
、在上单调减少； 、在上单调增加；
、在上为凹函数； 、在上为凸函数。
4、下列不定积分计算正确的是（   ）；；
、； 、；
、； 、。
5、设在上连续，则下列论断不正确的是（   ）。；
、是的一个原函数；. 、在内是的一个原函数.；
、在内是的一个原函数； 、在上可积。
二、填空题（每空 3 分，共 15 分）
6、若则      ；；
7、曲线在点的切线方程为：____ ____；；
8、曲线在内的拐点为 ；；
9、当满足条件__________时,反常积分 收敛； ；
10、微分方程的阶数是_________
三、计算题（共 45 分）
11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：
(1)
(2)
12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：
(1) 设函数,求 ；
解
(2)设函数 由方程 所确定，求 ；
解 ， 将代入得  
13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：
(1)
(2)
(3)
四、证明题(每小题 8分，共 16 分）
14、证明：设
证明 设，
则，
15、设在上连续，在上可导，且，求证在内至少存在一点使得成立.
证明 设在上连续，在上可导，且，y由罗尔中值定理得 ，即有
五、应用题（共9分）
16、求曲线与过该曲线上的点的切线与轴所围成的图形的面积
解 ， ，切线方程 ，

高等数学（上）
一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）
1、函数的定义域为（ ）；；
、且； B、、； 、； 、且。
2、（ ）；；
、； B、不存在； 、1； 、0。
3、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ）；；
、() ； 、 ()；
、 () ； 、 ()；
4、设要使在处连续，则（ ）；；
、2； 、1； 、0 ； 、-1
5、设函数在内恒有，则曲线在内（ ）；、单调上升，向上凸； 、单调下降，向上凸；
、单调上升，向上凹； 、单调下降，向上凹。
6、设，则方程在实数范围内根的个数是（ ）；；
、4 ； 、3 ； 、2 ； 、1 。
7、设，则（ ）；；
、； 、 ； 、 ； 、 。
8、设函数在上是连续的，下列等式中正确的是（ ）；；
、； 、；
、； ；。
9、当时，与为等价无穷小，则= （ ）；；
、； 、1； 、2 ； ；-2。
10、已知，，，则（ ）；
、1； 、2； 、3 ； 、4。
二、填空题（本题共10分，每空2分）
1、设则 。；
2、极限 ；；
3、设，则 。；
4、函数的不连续点为 。
5、设，则。
三、计算题
1.（8分）求
2、（7分）
3、（7分）设 求。，，
4、（8分）设。
解 设，两边同时求导得
5、（7分）
6、（7分）

7、（8分） 令，，

四、综合题
1、（9分）求由曲线所围平面图形绕轴旋转的旋转体的体积。

2、（9分）证明方程只有一个正根.
证明 设函数在连续，，
令，为单调递增函数，
又，由零点定理可知在只存在一点在，使在，则方程只有一个正根。

理工《高等数学》
一、填空题（本题共15分，每小题3分）
1.函数的连续区间是
2.若，，均为常数，则 ，
，；
3.设函数由方程所确定，则曲线在点（1，1）处的切线方程是 ，，
4.设，则 .
5.设在可导，则　　　　　　
二.求下列各题极限（共28分）
1.
2.
3.
4.
三．计算题（共32分）
5.设，求.
，
6.设，求.

7.求由参数方程所确定的函数的导数,.
；
8. .
解 方程两边同时求导得 ，

四．综合题（共27分）
9 .求常数的值，使函数在处一阶可导.
，，；
，。
10.求函数的所有间断点，并指出其类型.
，，，
11.设为连续函数，求

一、填空题（每空3分，共15分）
1、已知的定义域是，则函数的定义域为
2、________；；
3、积分与的大小关系是________；；
4、     .；；
解
又 时 为曲线 的拐点。
5、设，则 . 。
二、选择题（每空3分，共15分）
1、曲线在(0,0)点的切线斜率是（ ）；；
、 1 ； 、 ； 、0 ； 、 -1。
2、设，则当时，有（ ）；；
、与是等价无穷小； 、与是同阶但非等价无穷小；
、是比高阶的无穷小； 、是比低阶无穷小。
3、设函数在上具有连续的导函数，且 ）；；
、； 、； 、 ； 、。
4、下列积分发散的有（ ）；；
、； 、； 、.； 、。
5、设能使极限式成立，则（ ）。。
A. ； 、； 、 ； 、；
三、计算下列各题（共52分）
1、（7分）已知，求的导数。

2、（7分）
解
3、（7分）已知参数方程：，（），求所确定的函数的二阶导数。
解：（）

4、(7分）已知,,求.
解: 令 ,
则 ,.
5、（8分）计算不定积分.
解：=
=
= .
6、（8分）计算定积分.
解：令 则 且 当 时, 当 时
于是
7、求由曲线与直线围成的曲边梯形绕轴旋转所成的旋转体的体积．（8分）

四、证明题（每小题9分，共18分）
1、（9分）当时，.
证：令,
,当时，在内单调增加.而
即当时，
2、（9分）设函数和在上存在二阶导数，且
，证明 (1)在(a,b)内；（2）在(a,b)内至少存在一点，使.
证：（1）反证法.设内存在一点使，则在上有,由罗尔定理知在内至少存在一点，使，同理在内也至少存在一点使，则，∴由罗尔定理，在内至少存在一点使，这与矛盾，故在内。
（2）令
由题设条件可知，在上连续，在 内可导，且,由罗尔定理可知，存在使得，即，
由于，故。

一、 填空题（每空3分，共24分）
1、要使在处连续，则______；5；
2、设的一个原函数为，则        ；；
3、设，则__________；；
4、函数是当时的_同阶_无穷小量。（填等价，同阶或高阶）。
5、___________；0；
6、若，则_____，________；
7、函数的单调增加区间为____________。
二、求极限（每小题5分，共10分）。
1、（5分）
2、（5分）
三、求导数（每小题6分，共18分）。
1、（6分）求由方程所确定的隐函数的一阶导数和。
解：方程两边同时对x求导，得，整理得，
2、（6分）设函数的参数方程为，求，。
解：，
3、（6分）已知，求。
解：方程两边取对数，得
两边同时对x求导，得

四、求积分（每小题5分，共20分）。
1、（5分）计算
2、（5分）计算；解：令，则，
原式=
3、（5分）计算。
解：令，则，当，
原式=
原式
4、（5分）计算
解：
五、证明题（每小题8分，共16分）
1、（8分）证明不等式：当时，。
证明：设 ，
当时，
单调增加，，即，得证。
2、（8分）若在[0，1]上有二阶导数，且，
证明在（0，1）内至少存在一点，使得。
证明：在[0，1]上有二阶导数，则在[0，1]上有二阶导数，，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点，使得，，，由罗尔定理，在内至少存在一点，使得。
六、应用题（12分）在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）切点的坐标；（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。
解：（1）设切点的坐标为，则过点的切线斜率为，于是切线方程为，和x轴交点为，由，
得，因此切点坐标为)。切线方程，
（2）=
或
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