资料全国高考文科数学试题及复习资料湖北卷.doc

2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）
数学（文史类）
注意事项：
1. 答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 若向量a=1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
2. 函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】D
3.“sin=”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C
5. 已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.
6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于
A. B.
C. D.
【答案】A
7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于
A. B. C. D.
【答案】D
8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
【答案】B
【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故故选B.
9. 设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
【答案】B
【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列
10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
【答案】C
【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
11. 已知,则b= .
【答案】40
【解析】因为∴ .解得
12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。
【答案】0.24 0.96
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为（1-0.8）×（1-0.6）×（1-0.5）=0.04，所以，三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96
13. 设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣<1), 则A= .
【答案】
【解析】易得A= B= ∴A∩B=.
14. 过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。
【答案】4
【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得
15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ，数据落在[2，10）内的概率约为 。

【答案】64
【解析】观察直方图易得两个频率为,频率为
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小；
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法，考查基本运算能力。（满分12分）
（Ⅰ）解：由及正弦定理得，

是锐角三角形，
（Ⅱ）解法1：由面积公式得

由余弦定理得

由②变形得 ③
将①代入③得，故
解法2：前同解法1，联立①、②得

消去b并整理得解得
所以故
17. （本小题满分12分）
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元)。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用平均不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
解：（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为m，
则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面,，点是上的点，且
(Ⅰ)求证：对任意的（0、1]，都有；
(Ⅱ)若二面角的大小为600，求的值。
18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
（Ⅰ）证法1：连接，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面，BD是BE在平面上的射影
由三垂线定理得
(Ⅱ)
解法1：SD平面，平面， SDCD.
又底面是正方形，，又，CD平面
过点D在平面内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
于是，
在Rt△CDF中，由cot60°=
得，即=3
， 解得=

(Ⅰ)证法2：以D为原点，的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
∴
即对任意的（0，1]，都有
(Ⅱ)解法2：为平面的一个法向量
设平面的一个法向量为，
则
∴即
取，得
∴

由（0，1]，解得
19.（本小题满分12分）
已知{}是一个公差大于0的等差数列，且满足
（Ⅰ）求数列{}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{}和数列{}满足等式：＝，求数列{}的前n项和
（Ⅰ）解法一：设等差数列的公差为d，则依题设d>0
由，得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得，
即

解法二：由等差数列的性质得：，∴
由韦达定理知，是方程的根，
解方程得或
设公差为，则由，得
∵，∴
故
（Ⅱ）解法一：当时，，∴
当时，

两式相减得，∴
因此
当时，；
当时，
∵当时上式也成立，
∴当为正整数时都有
解法二：令
两式相减得由（Ⅰ）得

于是
=-4=
20.（本小题满分13分）
如图，过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线作垂线，垂足分别为M1、N1
（Ⅰ）求证：FM1⊥FN1:
（Ⅱ）记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论。
本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）
（Ⅰ）证法1：由抛物线的定义得

2分
如图，设准线与轴的交点为

而
即

故
证法2：依题意，焦点为准线的方程为
设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有

由 得
于是，，
，故
（Ⅱ）成立，证明如下：
证法1：设，则由抛物线的定义得
，于是

将与代入上式化简可得
，此式恒成立。
故成立。
证法2：如图，设直线的倾角为，
则由抛物线的定义得

于是
在和中，由余弦定理可得

由（I）的结论，得

即，得证。
21.（本小题满分14分）
已知关于x的函数,其导函数为.令,记函数在区间[-1、1]上的最大值为.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值；
（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2；
（Ⅲ）若对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。
21．本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想（满分14分）
（Ⅰ）解：，由在处有极值
可得
解得或
若，则，此时没有极值；
若，则
当变化时，，的变化情况如下表：

1

0
+
0

极小值

极大值

当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个
假设，则

将上述两式相加得：
，导致矛盾，
（Ⅲ）解法1：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是

②若，则
于是

综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时

，即
下同解法1