广东省广州市天河区2018年中考数学一模试卷.docx

2018年考数学模拟试卷
　一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，
这个几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下面的运算正确的是（　　）
A．a+a2=a3 B．a2•a3=a5 C．6a﹣5a=1 D．a6÷a2=a3
4．下列图形中，不是中心对称有（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
6．若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（　　）
A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3
7．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，
连接BD，若cos∠BDC=，则BC=（　　）
A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm
8．祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． =930 B． =930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930
9．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
10．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AB=AH•AF；其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．分解因式：x2+3x=　 　．
12．在函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
13．把103000000这个数用科学记数法表示为　 　．
14．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是　 　．
15．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，
如果这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是　 　cm．

16.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，
且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则tan∠ECD=
三、解答题（本题有9个小题，共66分）
17．解方程组．

18．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF，求证：BE=DF．

19．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．

20．为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：
成绩
频数
频率
优秀
45
b
良好
a
0.3
合格
105
0.35
不合格
60
c
（1）该校初三学生共有多少人？
（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．
（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE=　 　．

22．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

23．如图，直线y=2x及反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB及x轴的夹角为α，tanα=．
（1）求k的值及点B坐标．
（2）连接AB，求三角形AOB的面积S△AOB．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别及BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象及x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，及y轴交于点B，其对称轴及x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

2018年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
参考答案及试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的相反数是（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【解答】解：3的相反数是：﹣3．
故选：D．

2．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看易得主视图的形状：．
故选：C．

3．（3分）下面的运算正确的是（　　）
A．a+a2=a3 B．a2•a3=a5 C．6a﹣5a=1 D．a6÷a2=a3
【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；
B、a2•a3=a5，故此选项正确；
C、6a﹣5a=a，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．

4．（3分）下列图形中，不是中心对称有（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．

5．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：∵二次函数y=2（x﹣1）2+3，
∴该函数的顶点坐标是（1，3），
故选：A．

6．（3分）若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（　　）
A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3
【解答】解：∵y=kx﹣4的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
而四个选项中，只有D符合题意，
故选：D．

7．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC=（　　）

A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm
【解答】解：∵MN为AB的中垂线，
∴BD=AD．
设AD=acm，
∴BD=acm，CD=（16﹣a）cm，
∴cos∠BDC==，
∴a=10．
∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，
∴BC=8cm．
故选：A．

8．（3分）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． =930 B． =930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930
【解答】解：设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）=930，
故选：D．

9．（3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB=×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故选：A．

10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，

∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°
故②正确；
∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
故③正确；
在菱形ABCD中，AD=AB，
∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，
∴△AEH∽△AFB，
∴=，
∴=，
∴AE•AD=AH•AF，
故④正确，
故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：x2+3x=　x（x+3）　．
【解答】解：x2+3x=x（x+3）．

12．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是　x≥　．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，
解得，x≥．

13．（3分）把103000000这个数用科学记数法表示为　1.03×108　．
【解答】解：将103000000用科学记数法表示为：1.03×108．
故答案为：1.03×108．

14．（3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是　1＜c＜5　．
【解答】解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．

15．（3分）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1cm，则这个扇形的半径是　1.5　cm．

【解答】解：
解得R=1.5cm．
故答案为：1.5．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不及顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　　．

【解答】解：如图1所示：

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP
=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP
=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×
=．
故答案为：．

三、解答题（本题有9个小题，共102分）
17．（8分）解方程组．
【解答】解：，
①+②得，4x=12，
解得x=3，
将x=3代入①得，3+2y=1，
解得y=﹣1，
所以，方程组的解是．

18．（10分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF，求证：BE=DF．

【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AE=CF，
∴AD﹣AE=BC﹣CF，
即ED=BF，
而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE=DF（平行四边形对边相等）．

19．（10分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．
【解答】解：原式=÷，
=×，
=．
∵x=﹣1，
∴原式==．

20．（12分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：
成绩
频数
频率
优秀
45
b
良好
a
0.3
合格
105
0.35
不合格
60
c
（1）该校初三学生共有多少人？
（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．
（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【解答】解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），
答：该校初三学生共有300人；

（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），
b==0.15，
c==0.2；

如图所示：

（3）画树形图得：

∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．

21．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC=8，CD=5，则CE=　3　．

【解答】解：（1）如图所示：E点即为所求．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE是∠A的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA=5，
∴CE=BC﹣BE=3．
故答案为：3．

22．（12分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；

（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36公顷，
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．

23．（12分）如图，直线y=2x及反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB及x轴的夹角为α，tanα=．
（1）求k的值及点B坐标．
（2）连接AB，求三角形AOB的面积S△AOB．

【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y=2x，
得a=2，
则A（1，2）．
把A（1，2）代入y=，得k=1×2=2；
过B作BC⊥x轴于点C．
∵在Rt△BOC中，tanα=，
∴可设B（2h，h）．
∵B（2h，h）在反比例函数y=的图象上，
∴2h2=2，解得h=±1，
∵h＞0，
∴h=1，
∴B（2，1）；
（2）∵A（1，2），B（2，1），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3，
设直线AB及x轴交于点D，则D（3，0），
∵S△AOB=S△ABD﹣S△OBD=•OD•yA﹣•OD•yB，
=×3×2﹣×3×1，
=3﹣，
=．

24．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别及BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．

25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象及x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，及y轴交于点B，其对称轴及x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象及x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4；

（2）由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3，
∴D（3，0），
∵C（8，0），
∴CD=5，
由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣4，
设E（m， m﹣4），
当DC=CE时，EC2=（m﹣8）2+（m﹣4）2=CD2，
即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），
∴E（8﹣2，﹣）；
当DC=DE时，ED2=（m﹣3）2+（m﹣4）2=CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），
∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5=5.5，
∴E（，﹣）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，
∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4，
∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+
∴当m=时，△PBD的最大面积为，
∴点P的坐标为（，﹣）．

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