高中数学必修三第二章复习.doc

高中数学必修三第二章复习
高中数学必修三第二章复习

授课日期与时段

教学目的
1、 必修三第二章知识点串联与复习
2、 第二章知识的练习
重点难点
重点：必修三第二章知识点串联与复习
难点：频率分布直方图；线性相关
教学内容
必修四回顾

1、已知 ．

2、(2012·湖州模拟)给出下列命题：
①向量→(AB)的长度与向量→(BA)的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量
⑤向量→(AB)与向量→(CD)是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为________．
课前回顾

n=5
s=0
WHILE s<15
S=s + n
n=n－1
WEND
PRINT n
END

1、 右边程序执行后输出的结果是（ ）
A. B． C． D．

2、右图给出的是计算的值的一个程序框图，
其中判断框内应填入的条件是 （ ）
A． i<＝100 B．i>100
C．i>50 D．i<＝50

智能梳理

抽样：
统计的的基本思想是： 用样本的某个量去估计总体的某个量
总体：在统计中，所有考察对象的全体。
个体：总体中的每一个考察对象。
样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。
样本容量：样本中个体的数目。
简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样（simpie random sampling）.这样抽取的样本，叫做简单随机样本.

概括简单随机抽样的特点
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N.
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的.
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样.
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N.

抽签法步骤
随机数表法步骤
（1）将总体中的个体编号(编号时位数要统一)；
（2）选定开始的数字；
（3）按照一定的规则读取号码；
（4）取出样本
例题：假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行.
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799.
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）.
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本.
随机数表法操作的步骤：个体编号，任选一数，依次取号.
（2）系统抽样
系统抽样特点：容量大、等距、等可能．
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样:
(1) 先将总体的N个个体编号,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号,准考证号,门牌号等;
(2)确定分段间隔k,对编号进行分段.当(n是样本容量)是整数时,取;(当不是整数时，应先从总体中随机剔除几个个体，以获得整数间隔k.)
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号L(L≤k);
(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将L加上间隔k得到第2个个体编号(L+k),在加k得到第3个个体编号(L+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.
系统抽样的操作步骤是：个体编号,确定间隔,随机选一,等距抽取.
例：从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32
(3) 分层抽样
分层抽样概念
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样(stratified sampling).
分层抽样特点：总体差异明显、按所占比例抽取、等可能．
步骤：
1.将总体按一定标准分层;
2.计算各层的个体数与总体的个体数的比;
3.按比例确定各层应抽取的样本数目
4.在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样)
同步练习

【例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适
A.系统抽样 B.简单随机抽样
C.分层抽样 D.随机数表法
【例2】为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为
A.40 B.30 C.20 D.12
【例3】从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为
A. B.n C.［］ D.［］+1
【例４】系统抽样适用的总体应是
A.容量较少的总体 B.总体容量较多
C.个体数较多但均衡的总体 D.任何总体
【例5】下列说法正确的个数是
①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样
③百货商场的抓奖活动是抽签法
④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）
A.1 B.2 C.3 D.4
【例6】一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比为4∶３∶１，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为______________.
【例7】从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为３０的样本，若每个零件被抽取的机率为０.25，则N等于
A.150 B.200 C.120 D.100
【例8】一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.
【例9】体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345

用样本的频率分布估计总体分布
一） 频率分布
1、在用样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是
A、总体容量越大，估计越精确 B、总体容量越小，估计越精确
C、样本容量越大，估计越精确 D、样本容量越小，估计越精确

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。
1、一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
2、频率分布直方图的特征：
（1 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2） 从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
(1)列出样本频率分布表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下：

122
126
130
134
138
142
146
150
158
154
身高（cm）
o
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
频率/组距

3、 在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图.
4、 总体密度曲线
如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，曲线中所表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。这条光滑的曲线就叫做总体密度曲线。
总体密度曲线精确的反应了一个总体在各个区域内取值的百分比。

总体密度曲线 频率分布折线图
同步练习

1、一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别

频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在上的频率为（ ）
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64

96 98 100 102 104 106
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
克
频率/组距
第4题图
2、（山东理８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的
产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是( ).
A.90 B.75 C. 60 D.45

二）茎叶图
茎叶图
频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情况，此外，我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况.
【问题】 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16， 33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.

茎叶图的优点是：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
茎叶图的缺点是：当样本数据较多时,茎叶图就显得不方便了.
用样本的数字特征估计总体的数字特征

众数、中位数、平均数
1. 众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中 位数。
3、平均数 (1) x = 1/n(x1+x2+……+xn)
在频率直方图中计算众数、平均数、中位数
众数 在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
中位数 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
平均数 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
2.标准差、方差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

.标准差：

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。

方差：

从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时一般多采用标准差。

同步练习

1、（江苏6）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 .

2、（浙江文14）某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ．
其中平均数为 ；
众数为 ；
中位数为 。

3、天津11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
3、右图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（ ）
A． 31，26 B． 36，23
C． 36，26 D． 31，23

4、随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图为如图6．
1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
图6
乙班
甲班
2
18
1
9
9
1
0
0
16
3
6
8
9
17
8
8
3
2
5
8
8
9
15
2
用茎叶图分析数据的好处？
2）计算甲班的样本方差；
3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于
173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.

（2）、标准差和方差：描述了数据的波动范围，离散程度
标准差
方差
1、下列对一组数据的分析，不正确的说法是
A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

例题：
【例1】为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
90
100

110
120
130
140
150
次数
o
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
频率/组距
0.032
0.036

线性相关
1.两变量之间的关系
(1)相关关系——非确定性关系
(2)函数关系——确定性关系
,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系.
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
2. 回归直线
回归直线
思考：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？这些点大致分布在一条直线附近.

3.回归直线方程：
4.求回归方程的一般步骤：
第一步，计算平均数
第二步，求和
第三步，计算
第四步，写出回归方程

由上可以知道线性回归方程一定经过（x￣,￣y)
5.相关关系判断
1. 两个变量是否有相关关系可以先作出散点图进行判断.
2. 两个变量间是否有相关关系也可以通过求相关函数来判断.
其中，r为相关系数

同步训练

例1、

5、F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

章节巩固

1、选择题
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A. 正方体的棱长和体积 B. 单位圆中角的度数和所对应的弧长
C. 单位产量为常数时，土地面积和总产量 D. 日照时间与水稻的亩产量
2．对一组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）
A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定
3．学校礼堂有25排，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后留下了座位号是15的所有25名学生测试，这里运用的抽样方法是（ ）
A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
4．为了解某地5000名初三学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，以下表述不正确的是（ ）．
A．5000名学生成绩的全体是总体 　B．每个学生的成绩是个体
时间(小时)
人数
0 0.5 1.0 1.5 2.0
20
15
10
5
C．抽取200学生成绩的全体是总体的一个样本 　　D．样本的容量是5000
5．为了调查学生的课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根此可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间约为 ( )
A． 0.6小时 B. 0.9小时 C. 1.0小时 D. 1.5小时

甲 乙
8 0
4 6 3 1 2 5
3 6 8 2 5 4 1
3 8 9 3 1 6 1 7
4 4
６．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛
得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，
下列对乙运动员的判断错误的是 （ ）
A．乙运动员的最低得分为0分
B．乙运动员得分的众数为31
C．乙运动员的场均得分高于甲运动员
D．乙运动员得分的中位数是28

二、填空题
7 某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有２０件,那么此样本的容量 .
8．高一年级有4个班，各班的人数分别是52、54、54、53，某次数学考试各班的数学平均成绩分别是81、80、82、83，则这四个班的平均分是 （精确到0.1）.
9．在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .
频率
0.4
0.3
0.2
0.1
0
40 50 60 70 80 时速
10．右图是200辆汽车通过某
一路口时的时速频率分布直方图，
则时速在的汽车大约有
辆.

11．某校对高二学生的物理成绩和数学成绩进行了统计调查，得到与具有相关关系，且回归直线方程为（单位：分，满分100分），若小王同学的物理成绩为89，估计他的数学成绩约为　　 （精确到１分）.
12．一组数据按从大到小排列为2，2，4，，6，10，已知这组数据的中位数为5，那么这组数据的平均数为 .
三、解答题
13．中学生的心理健康问题已引起了社会的广泛关注，黎明中学对全校600名高三学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图：
分 组
频数
频频率/组距
成绩(分)
50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5
0.004
率
50.5~60.5
2
0.04
60.5~70.5

0.16
70.5~80.5
10

80.5~90.5

90.5~100.5

0.28
合 计

1.00
请填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图．

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