1、1,11.4,对面积的,曲面积分,第十章 曲线积分与曲面积分,概念的引入,对面积的曲面积分的定义,对面积的曲面积分的计算法,2,实例,解,第一步,:,将,分为许多,极其微小的子域,以,d,S,为,代表,d,S,的质量为,:,第二步,:,求和取极限,则,取,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动,.,光滑,的,它的面密度为连续函数,求它的质量,.,对面积的曲面积分,一、概念的引入,3,1.,定义,函数,f,(,x,y,z,),在,上,任意取定的点,并作和,如果当各小块曲面的直径,这和式的极限存在,则,的最大值,对面积的曲面积分,二、对面积的曲面积分
2、的定义,第,i,小块曲面的面积,),作乘积,设曲面,是光滑的,同时也表示,有界,.,把,任意分成,n,小块,4,或,记为,即,如曲面是,曲面元素,被积函数,则积分号写成,积分曲面,称,极限为函数,对面积的曲面积分,第一类曲面积分,.,闭曲面,对面积的曲面积分,5,2.,存在条件,在光滑曲面,上,今后,假定,的曲面积分存在,.,对面积,连续,对面积的曲面积分,3.,对面积的曲面积分的性质,6,补充：第一类面积分对称性,设分片光滑的,x,的奇函数,x,的偶函数,其中,则,曲面,关于,yOz,面对称,对面积的曲面积分,7,4.,对面积的曲面积分的几何意义,空间曲面,的面积,:,5.,对面积的曲面积分
3、的物理意义,面密度为连续函数,的质量,M,为,:,对面积的曲面积分,8,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,思想是,:,化为二重积分计算,.,(1),对面积的曲面积分,三、,对面积的曲面积分的计算法,9,则,则,(2),(3),对面积的曲面积分,10,确定投影域并写出,然后算出曲面面积元素,;,最后将曲面方程代入,被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据,化为二,曲面,选好投影面,曲面,的方程,重积分进行计算,.,对面积的曲面积分,11,例,解,投影域,:,所截得的部分,.,故,对面积的曲面积分,二重积分的对称性,对称性,12,解,依,对称性,知,例,抛物面,有,?,对面积的曲面积分,被积函
4、数,为第一卦限部分曲面,.,13,极坐标,投影域：,对面积的曲面积分,积分曲面,14,例,所围成的空间立体的表面,.,对面积的曲面积分,15,解,投影域,对面积的曲面积分,例,所围成的空间立体的表面,.,对称性,16,(,左右两片投影相同,),将,投影域,选在,注,分成左、右两片,对面积的曲面积分,对称性,17,计算曲面积分,其中,是球面,解,的方程,方程是,:,方程是,:,投影域,记,上半球面,为,下半球面,为,不是单值的,.,的值,.,练习,对面积的曲面积分,18,对,上半球,得,对,下半球,是球面,对面积的曲面积分,19,所以,极坐标,对面积的曲面积分,20,计算,其中,为球面,之位于平
5、面,曲面,的方程,在,xOy,面上的,投影域,解,练习,上方的部分,.,对面积的曲面积分,21,因曲面,于是,x,3,是,x,的奇函数，,x,2,y,是,y,的奇函数,.,关于,yOz,面及,xOz,面对称,;,对面积的曲面积分,22,例,解,积分曲面方程,轮换,对称,提示,即三个变量轮换位置方程不变.,具有,轮换对称性,中的变量,x,、,y,、,z,对面积的曲面积分,23,1995,年研究生考题,计算,6,分,解,积分曲面,在,xOy,面上的,投影域,对面积的曲面积分,练习,24,积分曲面,对面积的曲面积分,25,对面积的曲面积分的计算,对面积的曲面积分的概念,对面积的曲面积分,四、小结,四
6、步,:,分割、取近似、求和、取极限,思想,:,化为,二重积分计算,;,对面积的曲面积分的几何意义与物理意义,曲面方程三种形式的计算公式,26,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,对面积的曲面积分,因为若,为直线上的区间,a,b,则,故,27,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,对面积的曲面积分,是,若,是平面区域,G,则,故,28,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,对面积的曲面积分,是,若,是空间区域,则,故,29,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,是非题,是,若,为平面,(,空间,),曲线,L,则,对面积的曲面积分,部分和式的极限为曲线积分,
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