量子力学学习笔记.pdf

第一章量子力学的物理基础 1.1,实验基础1,第一组实验一一光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Co他加打散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。黑体辐射谱问题黑体辐射谱的经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在卜一 u+人间的 能量密度为2玛=）”,该公式可以明确地写为眼=（/）6=Ny&dv=cy 3 介（1.1）这里G、生是两个常系数，B=lkT.此公式在短波长（高频率）区 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。Raylei史h-Jeans 公式（1900,Rayleigh 1905,Jeans）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合,利用能量连续 分布的经典观念和Maxwell-Boltzmann分布律，导出黑体辐射谱的 另一个表达式一一。若记）=此心，这里此是腔中辐射场单位体积 内频率N附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它 为岑。下面来简单推算出它：c0 L:eikx=eikxlx=0 x=L7 r C 7 2 馆 A 7 2%kL=?n7t k=A k二L L于是，在单位体积辐射场中，波数在E-A+d-内的自由度数目（闪=2=至=q）为1 1 2 c c2d3k1L=1|28万“介 8m/2 dlz“2 32 3兀 C兀 C2.4琲闪J衣小38/而心是频率为u的驻波振子的平均能量，由MB分布律得一叨此ev=瓦-=kTJ”于是得至!I Rayleigh-_/8成dv c(1.2)这个与Wien公式的正好相反，它在低频部分与实验曲线符合得很好,1但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无 穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学 最早显露的困难之一。1900年Planck用一种崭新的观念来计算平均能量以。他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不 象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振 子的频率成正比并且只能取分立值，|0,一匕 2hv,3hv,.1这里的正比系数h就是后来所称的初次常数。与此相应，腔中辐 射场和温度为T的腔壁物质之间达到热平衡后，交换的能量也是这样 一份份的。由此，按经典统计理论的麦波分布律，与上述能级相对 应的比例系数分别为ehvj3 e2hvj3 e3hvj3将这些系数归一化（除以这些系数的总和）使它们变成为权重系数，就 得到对应频率V的驻波振子的平均能量，nhvexp-nhv/3 E=-二-三n exp f 胸Zexp-Mn/底=Jn=Q=5 M 1 _ exp 1=将这个平均能量且乘以自由度数目，就得到下面Planck公式/8就/dv c 4。3）显然，（1.3）式在高频和低频波段分别概括了 Wie公式和 Rayleigh-Jeans公式，体现了关于辐射谱峰值位置的Wien位移定律。总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。这说明，在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须 假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份 的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。光电效应问题自1887年Hertz起，到1916年Millikan为止，光电效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实 有：反向遏止电压（和逸出电子的最大动能成正比）和入射光强无关；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子 2作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子 的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系,而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中 积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电子运动区域的 横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那 样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，它不大于10一9秒。为了解决这些矛盾，1905年，加也加在即次的 能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出 光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应 方程是（L4）这里。是实验中所用金属的脱出功，比如，对Cs为L9eV,对Pt 为6.3eV。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在 从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受碰 撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的，而且 光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”。光电效应显示，照 射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至 可以引入光子的“有效”质量W,即*hv于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了 H距离，其频率要由 原来的%减小为八hv0=hv+gH 9 从而右这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移I这一现象在1960 年由和GA.Ke必 上在哈佛大学校园的水塔上实验观测 到了。Einstein的光电方程被Millikan用10年时间的实验所证实。Compton散射问题在此稍后一点的时间（1923年），发现了 Compton效应,更进一 步证实了光量子的存在。在这个效应里，散射光的能量角分布完全遵 从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定律。设初始电子是静 止的，于是有叫 c?+=mc2+hv,hv hvf 一-=-F p.1这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。3将矢量方程右边/项移到左边，平方之后利用第一个方程以及p2c2=m2c4 mc4 9 就得至U(/zv)2+(/zv7)2-2/z2wz=m2c4+rrc4-2mm0c42(x)由此可以看到，这种带有“不确定性”的、几率解释的、de Broglie 波的描述方法，不仅能以统一的方式描述电子的波粒两种属性，而且 和带有“不确定性”的双缝衍射实验事实相匹配。众所周知，与一束匀速直线运动的粒子流相联系的应当是一个平 面波。它们的形式是”后了一由)将de Broglie关系代入其中,便得到和这束粒子流相联系的de Broglie 平面波以(1.14)这时，如果定义|以。)为在在处单位体积内找到这束匀速直线运动粒 子的数目，则这种数目分布是空间均匀的。更一般地，我们来研究下 面de Broglie波波包叭,t)=叭0)1，而(1.15a)这里力和石满足如下关系EF2m取l=0,于是de Broglie波包成为i 一 一叭亍)=J 叭。)*而(1.15b)这里“是粒子在亍处的de Broglie波波幅，即几率幅。我们将广理 解为在处附近单位体积内找到粒子的几率，或说成，粒子取坐标了的 几率。而则理解成是粒子取动量力的几率。显然，用这样的方式去理解所引入的血历。皿。波，是能够统一 描述微观粒子波粒二象性的唯一方法：本身是波幅，可以叠加并 产生干涉，体现微观粒子的波动性；一旦(以帆几率)在亍处被观察 到，却又是个完整的粒子形象。但是，我们把这两种(从经典物理学 看来)完全不同的秉性用如此方式统一起来描述的时候，已经付出了 沉重的代价：放弃了经典物理学中惯用的拉普拉斯决定论，描述中引 入了不确定性，引入了几率观念。显然，为了做到统一的、兼顾两种 属性的描述，这种代价是必须付出的。总而言之，在描述方式上的这 种不确定性是和微观实验中表现出的不确定性相互匹配的。对于量子力学中的不确定性，即，实验测量中突变的不确定性和 波函数几率描述中的不确定性，存在两种观点。第一种观点，这些不确定性的存在说明我们对微观世界事物了解 12得不完全。实验测量中的不确定性固然说明了实验方法上的局限和近 似，描述方法中的不确定性更说明了理论的不完备，说明存在未知的“隐变数”，它们尚未被量子力学纳入理论框架中去。第二种观点，实验中突变的不确定性，并非我们实验方法、实验 仪器不完善造成的，而是微观客体固有的，它不能依靠改进实验方法 提高实验精度来消除。与经典力学迥然不同，量子力学描述中的几率 观念并不说明描述方式的不完备，而是客观现象本就如此。所谓的未 知“隐变数”是不存在的，量子力学的描述方式是完备的。长期以来，两种观念争论不休。应当指出，到目前为止，实验事 实一直在支持着量子力学，认为量子力学的描述是完备的。但鉴于目 前量子理论存在重大的困难，因此。讥ZC说：“它是到现在为止人们 能够给出的最好的理论，然而不应当认为它能永远地存在下去。我认 为很可能在将来的某个时间，我们会得到一个改进了的量子力学，使 其回到决定论，从而证明Einstein的观点是正确的。但是这种重新返 回到决定论，只有以放弃某些基本思想为代价才能办到，而这些基本 思想我们现在认为是没有问题的。如果我们要重新引入决定论的观 点，我们就应当以某种方式付出代价，这种方式是什么，现在还无法 推测。”1关于量子力学实验中不确定性的两种争论,可以形象的表述为“上 帝是不是玩掷色子的。”其次，“看看微观粒子的波动性质怎样导致微观粒子能量和状态 的间断分立或量子化现象”。即使在经典物理学的领域，也存在一个重要的、普遍的、众所周 知的事实。那就是，任何类型的波动，当它们展布或传播在无限空间 中时，波参数可以取连续变化的数值；但是，定性的说，一旦用某种 方式将这些波局限在有限空间的时候，波场所取的波参数必将分立 化，它们的频率和波长均要断续化、分立化。从富里叶频谱分析的观 点来说,任意局域的波均是一个富里叶级数,而不是一个富里叶积分。或者说，任何波动方程其局域解的问题总都是一个本征值和本征函数 的问题2。转到微观粒子情况。局域de Broglie波的波动性同样会造成频率 和波长的断续性。而且还进一步，频率和波长的这种断续性又通过 de Broglie关系转化为该粒子的能量和动量的断续性。因此可以说，任何局域化的de Broglie波必将伴随其能量的量子化。这正是粒子具1 P.A.M.Dirac,物理学的方向，科学出版社，1981年。2就物理学中常见的一些波动方程来说，本征值是分立的或是部分分立的。13有de Broglie波波动性的结果，是局域de Broglie波自相干涉（由边界 反射）形成的。这正与经典物理学中从一维琴弦振动、二维鼓膜振动 到三维微波腔中电磁波驻波等现象相对应的。最后，考察“微观粒子波动性质是怎样导致不确定性原理的”。按照前面所说“（%）和Mp）的物理解释，可以定义一个微观粒子坐 标x和动量P（相对于任一选定值为、。）的测量均方根偏差(Ax)2j(x-x0)2|(x)|2(ix(1.16)(P)2=匚(P P0)1”(P)|4 匚|Mp)沏(1.17)j|少（%）公这里，由于“（%）和”（p）是富里叶变换对，根据富里叶积分变换的带宽 定理1可得Ax.Ap|（1.18）这说明，不论粒子的de Broglie波波包的形状如何,它的动量均方根 偏差与坐标均方根偏差的乘积不小于世。或者说，不论微观粒子处在-2何种状态，它的坐标和动量在客观上不能同时都具有确切数值，当然 也就不能在同一个实验中将它俩同时都测准。这里强调指出，这种不 能同时测准是原则性的。就是说，不存在能同时测准微观粒子位置和 动量的实验方案，也并非任何实验方案欠周到、实验技术欠精密所带 来的实验误差。不确定性关系的存在正是根源于微观粒子的波动性，或者更准确说，根源于微观粒子的波粒二象性。显然，随着所研究的 问题向宏观领域趋近，力的作用逐渐减小，就从x、p不能同时测准 约略成为能同时测“准”了。其实，由所用的带宽定理可以知道，任 何种类波（弹性波、光波.）均存在类似的关系式。这是对波动过 11富里叶带宽定理:1 r.若/=工/（/）*加F(y)=J f(x)eixydx,并定义（Ax）2J%)2|/(刈2公,(Ay)?=叶8J二(y%)2|尸(y)14这里0，%为任意固定值，则有Ax-A y o 214程进行富里叶分析所得的基本结论之一。1.3不确定性关系的讨论1,不确定性关系的物理根源是微观粒子波动性。因此它也就是一个普遍成立的关系式。就是说，在任何H即或常数力的作用不能忽略的现象里，在任何 明显显示波粒二象性的事例中，总之一句话,在任何量子物理实验中,都能分析出这一不确定性关系。前面的关系式还可以改变一下形式。设电子沿工方向运动，由于 粒子在x方向的位置有一个不确定量，用光照射的办法确定其位置 时，发生散射的时间也就有一个不确定量，这里匕是散射前粒子的速度。显然，装也是用显微镜观察粒子时观测 时间的不确定量。另一方面，粒子的能量石=Jp；,所以和A2相应 2m的粒子能量的不确定量为AE=vxApx两者相乘，可得力(1.19)(1.19)式有不同的解释或称作应用。首先，如果针对的是一个不稳定的半衰期为工的能级，它必有一 个能级宽度。两者之间满足此处的不确定性关系F-r /z其次，如果将这里观测时间的不确定量看作观测的持续时间，那 么，测量粒子能量石的不确定量和对它进行观测的持续时间之间，也 存在类似的不确定性关系。换句话说，测量过程的分析表明，为了精 确地测量能量(精确度达到E),要求测量所花费的时间至少为再三，如果把富里叶频谱分析的观点用于持续时间间隔为加的波 包，就启发人们对此关系作出另一种解释：对只在短时间间隔加内 持续的任何不稳定现象，其能量必有一个不确定量(或，所含频率必 有一个宽度)，使两者之间满足上面的关系I2,不确定性关系的进一步解释及某些应用首先，应当强调指出，上面这两个关系不仅对大量同类粒子的相1这两种解释参见：E.费米，量子力学，西安交通大学出版社，1984年。15同实验，即所谓量子系综在统计上是正确的，而且也有不少主张认为 它对单个微观粒子的单次实验也是正确的。比如拿出。力来说。设想一个用光辐照原子使原子激发的实验。假定原子被频率为。的光照射持续一个短时间乙 于是光束可记为这里。=是单位阶跃函数。由于频率不是时间局域的，并且频谱分析也表明，这束光不是频率为仞的单色光：从经典观点看，将它作富里叶频谱展开，由于了不是无穷大，频谱将有一个宽度，是 一束非单色光；从量子观点看，这是一束非单色光子的集合，它们的 能量以力。为中心有一个宽度。这样一束非单色光子集合入射到大量 原子上，并不象通常那样将原子一个个都激发到比基态高力。（假定这 个激发态存在）的激发态上，从而退激时发出锐细的频率的光 谱，而是将原子激发到以这个激发态为中心的各种激发态（假定附近 的激发态都存在）上，退激时将会发出一定宽度的谱线。实验结果正 是这样。并且实验还指出，只当上面这个照射时间c持续很长的情况 下，原子退激发所发出的谱线才是力仞。这时，对此公式作单个解释 和统计解释都不困难。然而，下面例子就只能用单个过程来解释，并且意味着：就交换 的虚粒子而言，在时间加国的量级上，能量守恒定律将有石量级 AE的破坏。例子是近代关于核力或相互作用的概念，它可以形象表述如 下。和P仿佛是两个相向滑冰的运动员。当滑到七处时，向p抛去 一个小球（虚介子），同时在离开p的方向上受一反冲。P在处接到 抛来的球，也产生了另一个方向的要离开的反冲。假定人们只能看 见这两个运动员而看不见小球，那人们一定觉得在A与B之间存在着 某种斥力。和P之间抛接小球的最大距离便是这种斥力的力程。假 如和p之间的距离大于这个力程，和p之间的这种斥力便可以忽 略。对于吸引力的情况，可以设想在它们之间抛接飞去来器（虚介子）。就是说，在七处向背着（不再是朝向）p的方向抛出飞去来器，它飞向 P并绕圈后被P接受。如果相互抛接的是光子，两个粒子之间的作用 力便是电磁力，抛出和接受光子的“能力”便是电荷。质子和中子之 间相互抛接的是乃介子，呈现出介子场论的核力图象。现在的问题是,核内一对核子之间所抛接的虚乃介子，原先并不存在，是从“无”中 生出来的。这就意味着在相=分片数量上破坏了经典意义下的能量守 恒定律。但是，按不确定性关系，只要这个万介子存在的时间（从抛16出到接受，即从产生到吸收)在加。3=之内就是允许的1。可AE mc以如下估计核力的力程(或由核力的力程估计乃子的质量)。设万介子 近似以光速。从一个核子飞向另一个核子，则实际上，这个力程就是九介子的波长。显然，交换粒子(此 时为万介子)的质量越大，由交换过程所产生的力程就越短。核力力 程大体为分亥力=1.5x10-%小于是可得(.MeV。当然，这里的图 象是很简单化的。有关计算见8.1。另一个需要讨论的问题是，由于粒子的位置和动量不能同时具有 确定值，因此在量子理论中不存在(经典物理中常见的)粒子的静止 概念和轨道概念。这是因为，这些概念是以粒子位置和动量能同时定 准为前提的。最后，讨论一下这两个不确定性关系的某些应用。第一，能量尺度与空间尺度的关联。原子物理和凝聚态物理情况:这时的尺度为 A 10-8cm,p2 h2c2 _(6.58xl0-22MeV)2 x(3xlQ10cm/)22me 2mec2V 2xO.511MeV x(10-8 cm)2=3.8eV A 原子尺度A 一相应的能量尺度为(1-10)山原子核物理情况：原子核常用的尺度为10-隆利，p2 h2c2 _(1.973xlQ-nMeV-cm)22mc2(3.3Fermz)2-2x940MV-(3.3xl0-13cm)2=2MeV 3.3Fermi 原子核尺度(1-6.5)尸加一相应的能量尺度为(0.5-20)MeV粒子物理情况：高能物理的尺度W10T%*这时粒子已很接近于光速,所以有 人 力c、1.973xl()T MeV。加AE=c=-2Ax 2xl0-14 cmIGeV高能物理的尺度lGeV第二，前面我们已经严格证明了对任一 de 波包，有1R.Shankar,Principles of Quantum Mechanics,1980,P.253o17Ax,Apr x 2早在1926年，ScA,6而陪改就已构造了所谓“最小不准确度波包”，现在已将它推广为波色子相干态。这个波包其实是一个高斯型的波包（由于高斯型函数的富里叶变换仍为高斯型函数，所以这个波包的动 量展开还是一个高斯型的波包），随时间的演化仍保持为一个高斯型 波包。关于相干态的问题将在第五章中详细讨论。1.4理论体系的公设1,第一公设波函数公设“一个微观粒子的状态总可以用一个波函数”（E）来完全描述。波函数是粒子坐标和时间的复值函数，模平方|斓称为几率密度，就 是说，在波函数分布区域的小体积元中找到粒子的几率由dp=y/dv（1.19a）表示，这里/为的复数共朝。从而，”（）在其分布区域中必须处 处单值、连续、可微（除个别点、线、面之外），对此区域的任意部分 都平方可积。而且，如果必和匕是描述状态的波函数，则它们归一化 的任意复系数线性叠加V=陷+。2-2，同 2+同=1（119b）也是描述状态的波函数。”这个波函数公设可细分为四点内容：1）状态由波函数表示2）波函数的几率诠释3）以及随之而来的对波函数性质的要求4）量子状态服从线性叠加原理。这是对整个量子理论比如，经典物理中有自由粒子的匀速直线运动，在量子理论中有 动量为确定值的微观粒子状态与之对应。完全描述这种微观粒子状态 的波函数是平面de Broglie波（p-f-Et）（兀%）=Ae%（1.20）这里A为某个常数。确切些说，这个波函数描述了动量值为力的无尽 的粒子流，在这个束流中每单位体积内平均有UW=|呢个粒子存在。最好不用它去代表一个粒子（动量为定值的）的波函数。因为如果这 样，由于在全空间肯定能找到这个粒子，也就是存在如下归一化条件J全空间=i（i2i）若要这个在无穷体积上的积分收敛，指数前面的归一化系数A将为18零。物理上这当然是合理的，因为这时在任意地方的单位体积里找到 这一个粒子的几率几乎是零。但却使得数学上无法写出这个波函数。所以，代表一个粒子，最好不要用平面波1,而用某种波包，即是一 个展布在有限区域，从而模平方积分收敛，可归一化的波函数。这里 强调指出，从实验测量的观点，只要求|以方)四处处单值、连续、有 限，或写为,阳为)/村=单值、有限(1.22)这里表示被测点附近任意小但仍为有限的小体积。这是因为，任何测量粒子位置的实验，无论其精确度多高，也不能精确到一个几 何点，所以测量精度使得测定的区域虽然很小但总为有限。于是，实 验测量几率值必为单值有限的要求就体现为：要求上述积分单值有 限。这里并没有要求|3万)函数本身处处有限。如果把处处 有限”作为一个普遍性的要求，那其实是人为苛求的。比如，就球 坐标原点附近这一情况而言，实验测量只要求到城厂2办=单值、有限就是说，按实验测量的观点，波函数”/)在点可以发散，只要 它的发散满足下面边界条件以方)工8 应慢于/2 o(1.23)这就是从实验测量观点出发所得的物理的要求。这个问题在第四章中 还将谈到。最后指出，公设中的态叠加原理是对整个量子理论都成立的普 遍原理。2,第二公设算符公设任一可观测的力学量A可以用相应的线性厄米算符A来表示。这些算符作用于态的波函数。在这种由力学量A到算符A的众多对应 规则中，基本的规则是坐标x和动量夕向它们算符、力的对应。这个 对应要求xp-px=ih o (1.24)关于这个公设解释如下几点：第一，一个算符人为线性的，是指对任意复常数G、总有+。2”2)=同时，它的厄米共粗算符记为Q。这个算符由它在所有态中的全体1当然，如果引入5-函数，将平面波归一化成为b函数，在数学运算上也是可行的。并且实际大多数情况 也是这样做的。所以，这里的说法并不意味着放弃使用平面波。事实上，由于它的理想化和简单，会给数 学描述(例如散射理论中)带来简化。而由它带来的问题可以用一些人为的办法来补救。19内积来定义：对任意两个态9和，Q的内积（下面等式左边）由已 有定义的右边的量来决定道*=3k（1.25）这里，内积（,）若用波函数的积分来表示就是（9，）=Jo*（）（）d/，符号*表示取复数共粗。于是对（L25）式取复数共朝之后，将它用 波函数积分表示即为j（亍）A*（p（F）d 亍=J 0*（r）2（产）力=j 仪尸）（4（产）*d第二，如果1=3就称算符人为自共辄算符，或厄米算符1。这 时应有j i/f）A（p（f）df=J 夕*（尸）3（r）2尸当然，上面表述中的和均属于某一类函数（参见后面叙述）。可以证明，厄米算符的本征值均为实数，而且对应不同本征值的 本征函数相互间是正交的。因为，设入和%分别是厄米算符久 的对应本征值为为和电的本征函数，即有本征方程=。必,32（尸）=a2y/2对这两个方程分别左乘以，和“并积分，得J（r）A（r）Jr=（尸）尸）d/J（尸）32（尸）d-。2 J（/）2（尸）d尸另一方面，由人的厄米性可得J（r产=J；（r）A2（r）Jr将上面两个等式代入此式，得（%-；）J if/（亍）d亍=0如果取为“），由于1心（尸）疗W0,得小=a；,即A的本征值都 是实数；如果。1。出，这导致j 尸=0（1.26）说明分属于不同本征值的乙和%是互为正交的。接着，将这些%归一化，便可得到正交归一的函数族。一般说来，一个厄米算子的1为免除数学方面的混乱，这里指出：物理上的厄米算符（A*=4）是数学中的自伴算符（self-adjoint operator）,而不是数学中的厄米算符（又名对称算符-symmetric operator）,后者是可以有W4的。数学的自伴算符必为对称算符，反之不一定。一个算符是否为自伴的，除它本身性质以外，还与它的 定义域有关系。详见 J-M.Domingos,et.aL,Foundations of Physics,vol.14,No.2,147（1984）o 20本征函数族并不一定是完备的1。这里完备性是指：使用该函数族可 以对任一物理的波函数作展开。本征函数族是完备的厄米算符所对应 的力学量称为可观测的力学量2。这种说法的解释参见公设三。第三，按公设从力学量到厄米算符的对应。首先，经典物理学中 所有力学量均转化为对应的厄米算符，唯时间这个量除外。在全部量 子理论中时间一直保持为连续变化的参量，不存在相应的“时间算 符”。其次，关于2和/的对易子可如下理解。按以）的几率解释，力学量坐标的平均值应为j r|(r)|1 2 3 Jr j r|/(r)|2 Jr(1.27)可以看到，由于状态波函数”用坐标枳的函数来描述，坐标算符,可 直接就取为枳3。这时，算符方的表示式又如何呢？以一维de历oga 平面波波函数为例，它是动量算符的本征函数，对应本征值为p。写 出它的本征方程i i人（p-x-Et）（p-x-Et）peh=peh由此可以看出，力的算符表达式可以取作=h d p=-i dx在2、/的这种表示下，它们之间的对易关系为 人 人】人 人 人 人x,p=x-p-p-Xh d h d=x-xi dx i dx(1.28)=ih 1可以证明，如果一个线性算符6能满足某一有限阶代数方程0+a*、.+an=0,这里。1，。”为常系数，则6的本征函数族必是完备的。参见狄拉克，量子力学原理，第二章。2这里预先指出，定态的一维SHr&Z加ger方程（包括它在任意中心场下的径向分离方程）可归入S优域距型方程。它的本征函数的完备性能严格证明。见柯朗、希伯特，“数学物理方法”钱 敏、郭敦仁译，科学出版社，1958年，第328、262、225页。或见吴大猷，“量子力学（甲部）”，科学出 版社，1984年，第86页。从而，就一维这一特殊情况来说，可以严格证明，系统的能量是可观测量。但 是对一般的系统，能量是否为可观测量（即系统哈密尔顿量是否为自伴算符，也即其本征态是否为完备集）,这种证明是困难的，只能作为假设。这参见狄拉克“量子力学原理”，科学出版社，1965年，第36页。李政道就此问题有进展，参见第二章2相应注记。3由于”（万）并非是；的本征函数，无法对它写出本征方程。但若把5（干一用）作为某种实际的、十分 局域于片点的粒子波函数的理想化表示，则可对它写出坐标算符T的本征方程如下：胡任一九）=21显然，三维空间的另两维八2自由度也有类似计算。从而，就三维 空间来说，r=x,y,z 9 p=-z/zV。由此，非相对论的动能算符、势能算符等均可以用这两个算符的函数去构造。列表如下：非相对论动能算符势能算符 角动量算符 粒子密度算符粒子流密度算符22 7-2T=-=-A2m 2mv=v(r),人 人 /L=r x p=ihr x Vp=8(j-rz)j=43(6尸)+“3(：1)2 m m(1.29)系统总能量算符：吟;哈密顿量算符：人由在球坐标中，角动量算符的各个分量分别为人 人 人 8 8 8 8Lx=yP-zPy=-ih(j-z-)=ih(sin(p cot 0 cos(p-)dz dy dd d(p人 d.dL z/z(cos cp-cot Ssin(p)30 d(p(1.30)相应的动能算符则为2m r dr 2mr关于粒子密度算符和粒子流密度算符的说明以及其余注意事项参见 第二章。第鬲，关于动量算符的厄米性问题。由第二点叙述，将算符2=-访;为厄米的条件写为如下积分等式dxj-Jdx这里以x)、(x)是两个任意波函数。注意此式右边在分部积分之后等 于诙虫L(pdx=ihw*(p dx上限 下限就是说，仅当分部积分项为零时，月的厄米性才能被保证。就束缚态 而言，当X 一8时，”(X)和(x)均趋于零，2的厄米性不会出现问题。至于有限区间团可情况，R的厄米性只在满足周期边界条件的函数族 22中才被保证，这时分部积分出来的两项之和仍为零1。3,第三公设测量公设（期望值公设）“一个微观粒子体系处于波函数“（X）的状态,若对其测量可观测 力学量A的数值，则相当与将“按A的本征函数族匕展开，J n这里匕（r）是A的本征值为凡的本征函数。被测态匕的展开系数cn 一 般为复数。公设认为，单次测量所得A的数值必为A的本征值之一；多次测量所得3的期望值为4=J“*X”#ZkJ an(1.32)JV*(力#n如（）是归一的，则为二 J*蒯苏=除电。”除第一公设之外，这是又一个直接需量子力学对力学量的理论计 算与实验观测联系起来的公设。它和波函数公设共同构成了量子力学 关于实验观测的理论基础。这里指出几点：第一，这里期望值是指对大量相同的态以产）（它们组成所谓量子 系综）作多次观测的平均结果。注意区分两种情况：对大量相同量子态的量子系综进行多次测量的平均结果；对单个量子态的单次测量结果。第二，这里强调指出，如果归一化的（）不是算符A的本征函数,只要A是可观察力学量（也即A的本征函数构成完备集），则”（在）一 定可以用A的本征函数族匕展开：而期望值儿则是实数本征值册的曲权平均，加权系数等于必?）用 九展开时系数的模平方。注意，单次测量所测得A的数值不可能 是本征值以外的数值，这和经典物理学的测量情况截然不同；测到该 力学量为某个本征值的几率,是被测波函数的展开式中相应系数的模1如前面注解中所说，一个算符的厄米性也与它的定义域有关。为避免不确定性，本书规定动量算符/二，力&的定义域为（8,+8）。这与希尔伯特空间态矢的内积区间、几率归一范围、dxSchrodinger方程定义域等相一致，尽管粒子的运动可以是局域的。23平方。注意，作为决定几率权重的这些系数（随被测态的演化）可能 随时间变化。第三，即使在量子力学实验中，测量的数值也总应当是实数（力 学量的观测值总应当是实数），所以要求对任一波函数以尸），儿均为 实数。事实上这是被保证了的。因为X是厄米算符，于是有j=1j“*（尸）3（尸）d尸至于单次测量，其结果必是A的本征值之一，显然也总是实数。第四，每次测量并读出结果之后，态“即受严重干扰，并且总 是向该次测量所得本征值的本征态突变（塌缩）过去，使得波函数约 化到它的一个成分（一个分枝）上。这种由单次测量造成的塌缩称为 第一类波包塌缩。除非“已是该被测力学量的某一本征态，否则在 单次测量后被测态究竟向哪个本征态突变，就象测得的本征值一 样，是不能事先预言的。这种突变总是随机的、不可逆的、斩断相干 性的、非局域的。应当强调指出，状态的塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解的过程。表观上表现出是粒子状态的突变，实质上是体系所 处时空的塌缩！第五，概括起来说，对态“进行力学量A的每一次完整测量的 全过程一般分为三个阶段：一，“谱分解”：按A的本征态分解为展开式；二，“波函数坍缩“：”以展开式系数模平方为几率向A的 本征态之一突变过去；三，“初态制备”：通常说测量制备了一个初态，因为测量 坍缩之后的态作为初态在新环境的哈密顿量下开始新一轮演化。实验常常对由大量相同量子态所组成的量子系综进行重复性的 某种测量并读出结果。这种重复测量将制备出一个混态。因为不同塌 缩所得到的不同心之间没有任何位相关联，是非相干的。这个混 态也称做纯态系综一个纯态系列：纯态2出现几率为小，纯 态内出现几率为P2,等等。现在可以解释公设二中所提的可观察力学量的说法了。假如力学 量不是一个可以用实验来观测的量，那么对任给（满足物理条件）的一 个状态必产），都应当可以对它进行关于A取值的测量。由于测量就意 味着本征函数的展开，这等价于要求（任意被测态）必定能用A 的本征函数族展开，也即要求A的本征函数族是完备的。这就说明了，数学上算符A本征函数族的完备性和物理实验上力学量A的可观测 性这两者之间的关联。反过来说，如果某个厄米算符的本征函数族不 是完备的，原则上它就不是一个可以观测的量，至少就某些不能被展 开的态而言它是这样。对一般系统的任一力学量，相应算符的本征函 24数族是否完备很难证明（结合前面脚注）。因此，力学量是否为一个 可观测量，有的时候是一个基于物理直觉作出的假设和信念。第六，可以证明如下重要结论：两个力学量A和B可以同时观测 的充要条件是它们相应算符彼此对易，即人 人】人人 人人A,b=AB-BA=O这里，零算符的含义是它作用到任何物理波函数上结果都为零。论证 条件的必要性：若对任一状态都能够同时测定A、B,根据上面所说,必存在A、月的共同本征函数匕一因为，这时测量之后，原先的波 函数必以某一几率向3月的某个共同本征函数匕坍缩。于是就有4 4”而=（ab-ba）Wab=。这里匕,是A、月的某一共同本征态。又由于A、月是可观测物理量，所以匕后序列是完备的，任一波函数总可按匕后展开，于是对任给 的波函数，有伍同“二M，同Z=Z a M，月帆L 0ab ab从而得到a,b=0论证条件的充分性：如果a,b=0假定缸方中有一个是非简并的，就是说对应每一个本征值只存在一 个本征态。比如，A是这样，于是取A的一个本征态匕，有人 人】人人 人人Q=A,Ba=ABa-BAa也即次月匕）二。（月匕）这就是说，身匕也是A的本征值为的本征态。根据假定，A的这个 本征态不简并，因此月匕和匕必定只差一常系数，即M=bWa说明匕也是B的（本征值为的）本征态。也就是说，力学量A、B可 以同时观测。对于有简并的情况，结论依然如此，这在以后论述。最 后应当强调指出，如果A和月不对易，它们“不能同时测量”的含意 是：自然界中不存在这样的状态，测量之前A和5在这个态中客观上 都各自具有确定的数值（零本征值情况是个例外详见本章结尾部 分述叙）。事实上，在自然界绝大部份量子态中，可观测力学量客观 上都不具有确定的数值。这和应派例加所主张的物理实在论很不相 同（详见第十二章）。以上六点简要概括了量子力学中关于量子测量的基本内容。进一25步叙述见第十二章。4,第四公设一微观体系动力学演化公设Schrodinger方程公设“一个微观粒子体系的状态波函数满足如下负加6而电方程.W-方(八/)3万)=方(尸，一访V)以万)(1.34)dt这里方为体系的哈密顿算符，又称为体系的哈密顿量，H=T+V(r)=-+V(r)=A+V(r)。”(1.35)2m 2m这里强调指出，如果说，“测量公设”中所涉及的状态坍缩是不 可预测的、不可逆的、斩断相干性的、非局域的，因而完全不符合经 典观念的因果律的话，那么，在本公设中完全规定了状态波函数随空 间和时间的变化规则。这里不但保持着相干性，而且不存在任何不可 预测、不可逆的成分。就是说，波函数演化完全遵循经典观念下的因 果律。这两方面(态演化的决定论形式和态测量的随机坍缩形式)的 有机结合就是微观世界新的因果律一一量子力学的因果律。5,量子力学第五个公设全同性原理公设(第六章)伍 公设应用举例广义不确定性关系推导对两个任意算符d和，可以证明有(A1)(A2)1|(qi,Q2)J(1.36)这里，(0)夕=JV*01M:为向在态”中的平均值，而(八卢是算符白在态”中的方均根偏差。证：令7为单位算符，于是(aqj2=(笛=*笛必万=J(N)*/阿广三 14M2这里MW是态a”的模长。同样有0回)二|叫|注意陶&2_|=仄创，所以现在只需证明26网喉那叫即可。根据Schwarz不等式，Jj|/（尸）|2,尸-Jj|g力 之|j f（r）g（r）/ir|我们有，时|j（A）*（与=|jY ABy/d利用恒等式人人|人人I 人人Iab=-a,b+-ab这里仄乳=筋+船是两个算符的反对易子。于是有（金Q1）（。2）N JV*（；a b+；6）dr右边含反对易子的第一项在完成积分之后为实数（取厄米不变），含对 易子的第二项在积分之后为虚数（取厄米将反号）。但对任何实数值，和总应当有网=十网2,所以，（AQi）（AQ2）b1照62+|f“*RbW Jr|j2 3*回=Jjvlaa”成 到此证毕。上面已经说过，如果两个算符彼此不对易，它们就没有共同的本 征态。就是说，任何态中它们都不可能同时在客观上（各自）具有确 定值。也就是说，若对大量同样的态测量它们两者，则两者（或其中 之一，这时被测态是两者之一的本征态）的各次测量所得数值会有涨 落。现在，这个不等式进一步说明，标志测量结果量子涨落的均方根 偏差应当满足这个不等式。作为特例，可得Ax”,、:。但是，“不对易就不存在共同本征态”的提法稍稍苛刻，对这一提法有 例外情况。因为，从广义不确定关系本身可以直接看出，它还包括了下面这 一特