数列求和常用方法(课堂PPT).ppt

山东水浒书业有限公司,优化方案系列丛书,第,2,章数列,课堂互动讲练,知能优化训练,山东水浒书业有限公司,优化方案系列丛书,第,2,章数列,课堂互动讲练,知能优化训练,返回,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,掌握一些简单数列的求和方法,数列求和,1,常用的公式有：,(1)等差数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=,=,.,(2)等比数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=,=,(,q,1),(3)1,2,+2,2,+3,2,+,n,2,=,.,(4)1,3,+2,3,+3,3,+,n,3,=,.,na,1,+,d,n,(,n,+1)(2,n,+1),n,2,(,n,+1),2,1公式法：直接应用等差数列，等比数列的前,n,项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和,常用求和方法,2,课堂互动讲练,考点突破,公式法,如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解,3,(2010,年高考陕西卷,),已知,a,n,是公差不为零的等差数列，,a,1,1,，且,a,1,，,a,3,，,a,9,成等比数列,(1),求数列,a,n,的通项；,(2),求数列,2,a,n,的前,n,项和,S,n,.,【,思路点拨,】,利用,a,1,，,a,3,，,a,9,成等比数列，可求公差,d,，从而得出,a,n,.,例,1,4,5,分组法,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.,6,例,2,7,8,倒序相加法,是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.,9,例3,10,裂项相消法,这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解,（裂项）,如：,11,已知等差数列,a,n,满足：,a,3,7,，,a5,a,7,26,，,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,(1),求,a,n,及,S,n,；,例,4,【,思路点拨,】,由,a,3,，,a,5,a,7,的值可求,a,1,，,d,，利用公式可得,a,n,，,S,n,.,对于,b,n,，利用裂项变换，便可求得,T,n,.,12,13,14,错位相减法,对于形如,a,n,b,n,的数列的前,n,项和,S,n,的求法,(,其中,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列,),，可采用错位相减法具体解法是：,S,n,乘以某一个合适的常数,(,一般情况下乘以数列,b,n,的公比,q,),后，与,S,n,错位相减，使其转化为等比数列问题来解,15,(2010,年高考课标全国卷改编,),设等比,数列,a,n,满足,a,1,2,，,a,4,128,.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),令,b,n,na,n,，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,【,思路点拨,】,利用公式求得,a,n,，再利用错位相减法求,S,n,.,例,5,16,17,6.并项法,将数列的每两项(或多次)并到一起后，再,求和，这种方法常适用于摆动数列的求和,.,例六：,Sn,=1,2,-2,2,+3,2,-4,2,+(-1),n,-1,n,2,18,当,n,是偶数时，,S,n,=(1,2,-2,2,)+(3,2,-4,2,)+(,n,-1),2,-,n,2,=3-7-(2,n,-1)=.,当,n,是奇数时，,S,n,=1+(3,2,-2,2,)+(5,2,-4,2,)+,n,2,-(,n,-1),2,=1+5+9+(2,n,-1)=.,故,S,n,=(-1),n,-1,(,n,N*).,19,1,注意对以下求和方式的理解,(1),倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用,(2),裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性,(3),错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和,方法感悟,20,2,常见求和类型及方法,(1),a,n,kn,b,，利用等差数列前,n,项和公式直接求解；,(2),a,n,a,q,n,1,，利用等比数列前,n,项和公式直接求解,(,但要注意对,q,要分,q,1,与,q,1,两种情况进行讨论,),；,(3),a,n,b,n,c,n,，数列,b,n,，,c,n,是等比数列或等差数列，采用分组转化法求,a,n,前,n,项和；,(4),a,n,b,n,c,n,，,b,n,是等差数列，,c,n,是等比数列，采用错位相减法求,a,n,前,n,项和；,(5),a,n,f,(,n,),f,(,n,1),，采用裂项相消法求,a,n,前,n,项和；,(6),a,n,k,a,k,cb,n,，可考虑采用倒序相加法求和,21,