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初三中考数学复习提纲知识点
初三数学应知应会的知识点
一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，20叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当20 (a≠0)时，Δ2-4 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；
Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.
4. 一元二次方程的根系关系： 当20 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

※ 5．当20 (a≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 ；Δ2-4 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 Û = 0且Δ≥0 Û b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数 Û =1且Δ≥0 Û a = c且Δ≥0；
3）只有一个零根 Û = 0且≠0 Û c = 0且b≠0；
（4）有两个零根 Û = 0且= 0 Û c = 0且0；
（5）至少有一个零根 Û =0 Û 0；
（6）两根异号 Û ＜0 Û a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û ＜0且＞0Û a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û ＜0且＜0Û a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根 Û ＞0，＞0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根 Û ＞0，＜0且Δ≥0 Û a、c同号， a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.
2(1)(2) 或 2.
7．求一元二次方程的公式：
x2 -（x12）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题应用题的类型题之一 （设增长率为x）：
(1) 第一年为 a , 第二年为a(1) , 第三年为a(1)2.
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.
9．分式方程的解法：

10. 二元二次方程组的解法：

※11．几个常见转化：

；
；

解三角形
1.三角函数的定义：在Δ中,如∠90°，那么
； ；
； .
2．余角三角函数关系 “正余互化公式” 如∠∠90°, 那么：
； ； ； .
3. 同角三角函数关系：
22A =1； · =1. ※ ※
4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.
5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数
值，要熟练记忆它们.

∠A
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

不存在

不存在

1

0

※ 6. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.
正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0；
正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.

7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.

※ 8. 关于直角三角形的两个公式： △中: 若∠90°,

9．坡度： i = 1 = = α； 坡角: α.

10. 方位角：

11．仰角及俯角：

12．解斜三角形：已知“” “” “” “” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.
※ 13．解符合“”条件的三角形：若三角形存在且符合“”条件，则可分三种情况：（1）∠A≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A＜90°，∠A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A＜90°，∠A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.
14．解三角形的基本思路：
（1）“斜化直，一般化特殊” 加辅助线的依据；
（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法转化思想；
（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法方程思想.

函数及其图象
一 函数基本概念
1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值及它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.
※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.
※3. 函数的确定：对于 2 (k≠0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.
4.平面直角坐标系：
（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M（），x叫横坐标，y叫纵坐标；
（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：
（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也
成立；
（4）象限角平分线上点M() 的坐标特征:
<=> M在一三象限角平分线上； <=> M在二四象限角平分线上.
（5）对称两点M(x11), N(x22) 的坐标特征：
关于y轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同；
关于x轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同；
关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反.
5.坐标系中常用的距离几个公式 “点求距”
（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：12大小 , 12大小 .
（2）如图， 象限上的点M（）:
到y轴距离：； 到x轴距离: ；
.

（3）如图，轴上的点M（0）、N（x,0）到原点的距离：
； .

※（4）如图，平面上任意两点M（x22）、N（x22）之间的距离：

※ 6. 几个直线方程 :
y轴 <=> 直线 0 ； x 轴 <=> 直线 0 ；
及y轴平行，距离为∣a∣的直线 <=> 直线 ；
及x轴平行，距离为∣b∣的直线 <=> 直线 .
7. 函数的图象：
(1) 把自变量x的一个值作为点的横坐标，把及它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；
(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”重要代入！
(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；
(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.
8. 自变量取值范围及函数取值范围：

一次函数
1. 一次函数的一般形式： . (k≠0)

2. 关于一次函数的几个概念： (k≠0)的图象是
一条直线，所以也叫直线,图象必过y轴上的点( 0 )和x轴上的点( ,0 )；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b叫直线 (k≠0)在y轴上的截距，b的本质是直线及y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值.
3 (k≠0) 中，k，b符号及图象位置的关系：

4. 两直线平行：两直线平行 <=> k12 ※ 两直线垂直<=> k1k21.
5. 直线的平移：若m＞0＞0, 那么一次函数图象向上平移m个单位长度得；向下平移n个单位长度得 （直线平移时，k值不变）.
6.函数习题的四个基本功：
(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设0，可求出直线及x轴的交点坐标（x0 ,0）；设0，可求出直线及y轴的交点坐标(00)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；
(2) 点求式： 已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式 待定系数法；
(3) 距求点：已知点M(x0 0)到x轴轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；
(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标及它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.

正比例函数
1.正比例函数的一般形式： (k≠0)； 属于一次函数的特殊情况；（即0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线.
2．画正比例函数的图象：正比例函数 (k≠0)的图象必过
(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例
函数图象时应取的两个点，即列表如右：

3 (k≠0)中，k的符号及图象位置的关系：

4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式 待定系数法.
二次函数
1. 二次函数的一般形式：2.(a≠0)
2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线2；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.
3. 2 (a≠0)的特性：当2 (a≠0)中的0且0时二次函数为2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：
（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）2 (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： 2+00, (0)2+0, (0)(0).
4. 二次函数2 (a≠0)的图象及几个重要点的公式：

5. 二次函数2 (a≠0)中，a、b、c及Δ的符号及图象的关系：
(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；
(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； 0 <=> 抛物线从原点通过；
c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；
(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；
0 <=> 对称轴是y轴；
(4) Δ＞0 <=> 抛物线及x轴有两个交点；
Δ=0 <=> 抛物线及x轴有一个交点（即相切）；
Δ＜0 <=> 抛物线及x轴无交点.

6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式2，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式待定系数法.
8．二次函数的顶点式： ()2 (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 和函数的最值 y最值= k.
9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x00）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为(x 0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）
10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；()2的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：
k值增大 <=> 图象向上平移； k值减小 <=> 图象向下平移；
（）值增大 <=> 图象向左平移； ()值减小 <=> 图象向右平移.
11. 二次函数的双根式：(即交点式) (1)(2) (a≠0)；由双根式直接可得二次函数图象及x轴的交点（x1,0）,x2,0）.
12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象及x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为 a(1)(2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）
13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点及对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

反比例函数
1. 反比例函数的一般形式：图象叫双曲线.
※ 2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数1中自变量x不能取0, 故函数图象及y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象及x轴也不相交.

3. 反比例函数中K的符号及图象所在象限的关系：

4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.
函数综合题
1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题及几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象及图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.
2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.
3．函数及方程的关系：正比例函数 (k≠0)、一次函数 (k≠0)都可以看作二元一次方程，而二次函数2 (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.
4．二次函数及一元二次方程的关系：
（1）如二次函数2 (a≠0)中的Δ＞0时，图象及x轴相交，函数值0，此时, 二次函数转化为一元二次方程20 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数2及x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；
（2）当研究二次函数的图象及x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.
（3）如二次函数2 (a≠0)中的Δ＞0时，图象及x轴相交于两点A（x1 ,0）（x2 ,0）有重要关系式: 1|, 2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象及y轴交点 C(0),也有关系式: .
5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：
Δ＞0 <=> 方程组有两个解； Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.
初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )
几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1.垂径定理及推论:
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.

几何表达式举例：
∵ 过圆心
∵⊥
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.

几何表达式举例：

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.

几何表达式举例：
(1) ∵∠∠
∴ =
(2) ∵ =
∴∠∠
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)

（1） （2）（3） （4）

几何表达式举例：
（1） ∵∠∠
∴ ……………
（2） ∵ 是直径
∴ ∠90°
（3） ∵ ∠90°
∴ 是直径
（4） ∵
∴ Δ是Δ

5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的内对角.

几何表达式举例：
∵ 是圆内接四边形
∴ ∠ =∠
∠∠A =180°
6．切线的判定及性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

几何表达式举例：
（1） ∵是半径
∵⊥
∴是切线
（2） ∵是半径
∵是切线
∴⊥
（3） ……………

7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.

几何表达式举例：
∵ 、是切线
∴
∵过圆心
∴∠ =∠
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如图）
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）

（1） （2）
几何表达式举例：
（1）∵是切线，是弦
∴∠ =∠

（2）
∵ ，是切线
∴ ∠ =∠

9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

（1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵··
∴………
（2） ∵是直径
∵⊥
∴2·
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等.

（1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵是切线，
是割线
∴2·
（2） ∵、是割线
∴··
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

（1） （2）
几何表达式举例
（1） ∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分
（2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角an ，半径 ， 边心距 ，
边长 ，内角bn ， 边数n；
（2）有关计算在Δ中进行.

公式举例：
(1) an =；
(2)

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦
切角 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外）
公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正
多边形的中心角.
二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三 公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长2πR；（2）弧长；（3）圆的面积πR2.
（4）扇形面积S扇形 =；（5）弓形面积S弓形 =扇形面积±Δ的面积.（如图）
2.圆柱及圆锥的侧面展开图
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2π； (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.
4． 直线及圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线及圆相交 Û d＜r ； 直线及圆相切 Û ； 直线及圆相离 Û d＞r.
5． 圆及圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离 Û d＞； 两圆外切 Û ； 两圆相交 Û ＜d＜；
两圆内切 Û ； 两圆内含 Û d＜.
6．证直线及圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

7．关于圆的常见辅助线：

已知弦构造弦心距.

已知弦构造Δ.

已知直径构造直角.

已知切线连半径，出垂直.

圆外角转化为圆周角.

圆内角转化为圆周角.

构造垂径定理.
构造相似形.

两圆内切，构造外公切线及垂直.

两圆内切构造外公切线及平行.

两圆外切，构造内公切线及垂直.

两圆外切，构造内公切线及平行.

两圆同心，作弦心距，可证得.

两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.

、是切线，构造双垂图形和全等.

相交弦出相似.

一切一割出相似, 并且构造弦切角.

两割出相似,并且构造圆周角.

双垂出相似,并且构造直角.

规则图形折叠出一对全等，一对相似.

圆的外切四边形对边和相等.

若 ∥都是切线，连结、可证∠180°，即A、O、B三点一线.

等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.

Δ的内切圆半径：.

补全半圆.

.

.

过圆心，是切线，构造
双垂、Δ.

O是圆心，等弧出平行和相似.

作⊥，可证出:
.

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