中考数学二次函数知识点总结及相关典型题目.doc

二 次 函 数知识点题型
一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
例：已知关于的函数）当满足什么条件时
（）是一次函数 （）是正比例函数 （）是二次函数
二、二次函数是常数，的性质（）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜｜越大，开口越小。
（）顶点是，对称轴是直线（）①当时，在对称轴左边，随的增大而减小；在在对称轴右边，随的增大而增大；
②当时，在对称轴左边，随的增大而增大；在在对称轴右边，随的增大而减小。
（） 轴与抛物线得交点为(,)
例：、（四川重庆，，分）已知抛物线＝＋＋(≠)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) ． > ． ＜ ． ＜ ． ＋＋>

练习：、（山东威海，，分）二次函数的图象如图所示．当＜时，自变量的取值范围是（ ）．．－＜＜ ．＜－ ． ＞ ．＜－或＞
、（湖北孝感，，分）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①＜；②；③4ac－4a；④＜.其中正确的个数是（ ）
. . . .
三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线.
()利用交点式求对称轴与顶点：，对称轴为
例、求下列各抛物线的顶点和对称轴：
（）（）（）
例、（江苏淮安，，分）抛物线的顶点坐标是 .
四、抛物线的平移 方法：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况
方法：将函数换成顶点式，用口决“（）左加右减，上加下减”
例、抛物线经过怎样平移得到
例、（四川乐山，分）将抛物线向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
． ． ． ．
例、（重庆江津）将抛物线－向上平移个单位,再向右平移个单位等到的抛物线是.
练习：、抛物线经过怎样平移得到
、抛物线向左平移个单位，再向上移个单位得到，求和。
、（山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
.先向左平移个单位,再向上平移个单位 .先向左平移个单位,再向下平移个单位
.先向右平移个单位,再向下平移个单位 .先向右平移个单位,再向上平移个单位
五、用待定系数法求二次函数的解析式 （）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
()一般式与顶点式的变换
例：、根据已知条件确定下列函数的解析式：（）已知抛物线过
（）已知抛物线的顶点在轴上，且过点（，）、（－，）；（）已知抛物线的顶点坐标为（－，），过点（，）
例、将
练习：、将
、将二次函数化为的形式，则
例、将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？（ ）．两根相异，且均为正根 ．两根相异，且只有一个正根
．两根相同，且为正根 ．两根相同，且为负根
七、与一元二次方程的关系

>
＝
<

方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根

抛物物与轴有两个交点
抛物物与轴只有一个交点
抛物物与轴没有交点

韦达定理：（二者都可以用）
例、.抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，则的长为 ，三角形的面积是 。
练习：.已知二次函数的图象经过点（，－）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与轴的交点的个数．
.（湖北襄阳）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
. . .且 .且
、（广东东莞，，分）已知抛物线与轴有交点．()求的取值范围；
()试确定直线＝经过的象限，并说明理由．
八、二次函数的应用、求是常数，最大值或最小值①，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时等于顶点的横坐标；②，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时等于顶点的横坐标。
、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他、拱桥问题例
、二次函数有（ ）． 最大值． 最小值． 最大值． 最小值
例 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为（），余下的可耕地面积为（）。
（1） 请你写出与之间的解析式；
（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？
（3） 若余下的耕地面积为，求此时水渠的宽度。
例、某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价(元)满足一次函数：.写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式；如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？
练习：、某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品。据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克；销售单价每涨元，月销售量就减少千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:当销售单价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润；设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的函数关系式(不必写出的取值范围）；商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到 元，销售单价应定为多少？
、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面∶的比例图上，跨度＝ 拱高＝0. ，线段表示大桥拱内桥长，∥，如图（）．在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（）．

　（）求出图（）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（）如果与的距离＝0. ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到米）．
、. 如图，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。
附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（）

（轴）
(, )

()

(,)

()

解析答案
二 次 函 数
一、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
例：已知关于的函数）当满足什么条件时
（）是一次函数 （）是正比例函数 （）是二次函数

二、二次函数是常数，的性质
（）①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
③｜｜越大，开口越小。
（）顶点是，对称轴是直线
（）①当时，在对称轴左边，随的增大而减小；在在对称轴右边，随的增大而增大；

②当时，在对称轴左边，随的增大而增大；在在对称轴右边，随的增大而减小。
（） 轴与抛物线得交点为(,)

例：、（四川重庆，，分）已知抛物线＝＋＋(≠)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) ． > ． ＜ ． ＜ ． ＋＋>

练习：、（山东威海，，分）二次函数的图象如图所示．当＜时，自变量的取值范围是（ ）．．－＜＜ ．＜－ ． ＞ ．＜－或＞
、（湖北孝感，，分）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①＜；②；③4ac－4a；④＜.其中正确的个数是（ ）
. . . .

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（）公式法：，顶点是，对称轴是直线.
（）配方法：的顶点为(,)，对称轴是直线.
()利用交点式求对称轴与顶点：，对称轴为
例、求下列各抛物线的顶点和对称轴：
（） （） （）
例、（江苏淮安，，分）抛物线的顶点坐标是 .
四、抛物线的平移
方法：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况
方法：将函数换成顶点式，用口决“（）左加右减，上加下减”
例、抛物线经过怎样平移得到
例、（四川乐山，分）将抛物线向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
． ． ． ．
例、（ 重庆江津， ，分）将抛物线－向上平移个单位,再向右平移个单位等到的抛物线是.（() 或 ）
练习：
、抛物线经过怎样平移得到
、抛物线向左平移个单位，再向上移个单位得到，求和。
、（山东滨州，，分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
.先向左平移个单位,再向上平移个单位
.先向左平移个单位,再向下平移个单位
.先向右平移个单位,再向下平移个单位
.先向右平移个单位,再向上平移个单位
五、用待定系数法求二次函数的解析式
（）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
()一般式与顶点式的变换
例：、根据已知条件确定下列函数的解析式：
（）已知抛物线过
（）已知抛物线的顶点在轴上，且过点（，）、（－，）；
（）已知抛物线的顶点坐标为（－，），过点（，）
例、将（）
练习：、将
、（山东济宁，，分）将二次函数化为的形式，则（）
七、与一元二次方程的关系

>
＝
<

方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根

抛物物与轴有两个交点
抛物物与轴只有一个交点
抛物物与轴没有交点

韦达定理：（二者都可以用）
例、（台湾台北，）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？（ ）

．两根相异，且均为正根 ．两根相异，且只有一个正根
．两根相同，且为正根 ．两根相同，且为负根
例、.抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，则的长为 ，三角形的面积是 。
练习：.已知二次函数的图象经过点（，－）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与轴的交点的个数．（，两个交点）
.（湖北襄阳，，分）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
. . .且 .且
、（广东东莞，，分）已知抛物线与轴有交点．
()求的取值范围；
()试确定直线＝经过的象限，并说明理由．
八、二次函数的应用
、求是常数，最大值或最小值
①，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时等于顶点的横坐标；
②，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时等于顶点的横坐标。
、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底
、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他
、拱桥问题
例、（广东肇庆，，分）二次函数有（ ）
． 最大值 ． 最小值 ． 最大值 ． 最小值
例 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为（），余下的可耕地面积为（）。
（4） 请你写出与之间的解析式；
（5） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可耕地面积为多少？
（6） 若余下的耕地面积为，求此时水渠的宽度。
例、某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价(元)满足一次函数：.
（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式；
（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：、某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品。据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克；销售单价每涨元，月销售量就减少千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:
（1） 当销售单价定为每千克元时，计算月销售量和月销售利润；
（2） 设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的函数关系式(不必写出的取值范围）；
（3） 商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到 元，销售单价应定为多少？

、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面∶的比例图上，跨度＝ ，拱高＝0. ，线段表示大桥拱内桥长，∥，如图（）．在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（）．

　（）求出图（）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
　 （）如果与的距离＝0. ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到米）．

、. 如图，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。 （答案：0.2m）

图

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（）

（轴）
(, )

()

(,)

()

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