高考数学一轮复习专题训练立体几何.docx

高三数学文一轮复习专题突破训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2016年全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A） （B）
（C） （D）
2、（2016年全国II卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A） （B）
（C） （D）
3、（2016年全国I卷）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为
（A） （B）
（C） （D）
4、（2016年全国II卷）如图是由圆柱及圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
5、（2016年全国III卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A） （B） （C）90 （D）81
6、（2016年全国III卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是
（A）4π （B） （C）6π （D）
7、（2015年全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
8、（2015年全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后及半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )

（A） （B）　　（C） （D）
9、（广东省2016届高三3月适应性考试）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）

A． B．
C． D．
10、（广东佛山市2016届高三二模）已知、、都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11、（广东广州市2016届高三二模）如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出
的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
(A) (B)
(C) (D)

12、（广东深圳市2016届高三二模）设是两条不同的直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，//，则
C．若//，，则// D．若//，//，则//
13、（广东珠海市2016届高三二模）某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱
长度是( )

A．1 B. C. D. 2

14、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1 D1在一半球底面上，且A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
(A) (B) (C) (D)
15、（茂名市2016届高三第一次高考模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A、　　　　　　　　B、　　　　　C、　　　　　D、2
16、（清远市2016届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题
1、（2016年全国I卷高考）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

2、（2016年全国II卷高考） 如图，菱形的对角线及交于点，点、分别在，上，，
交于点，将沿折到的位置.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若,求五棱锥体积.

3、（2016年全国III卷高考）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
4、（2015年全国I卷）如图四边形ABCD为菱形，G为AC及BD交点，，

（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

5、（广东省2016届高三3月适应性考试）如图所示，在直三棱柱中，底面的棱，
且．点、在侧棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．

6、（广东佛山市2016届高三二模如图，在直四棱柱中，．
（1）求证：平面平面；
（2）若,,求三棱锥的体积．

7、（广东广州市2016届高三二模） 如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
，平面平面，平面，点为的中点，
连接.
(Ⅰ) 求证：∥平面；
(Ⅱ) 若，求三棱锥的体积.

8、（广东深圳市2016届高三二模）如图，平面平面，四边形为菱形，四边形为矩形，、分别是、的中点,，．
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．

9、（广东珠海市2016届高三二模）
如图，四棱锥中，四边形是等腰梯形，其中， ，且；为中点，．
⑴ 求证：．
⑵ 求四棱锥的体积

10、（惠州市2016届高三第三次调研）
如图，已知等腰梯形中，是的中点，,将沿着翻折成．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求棱锥的体积

11、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）如图4，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
(Ⅰ)求证：BC1∥平面A1CD；
图4
(Ⅱ)若四边形CB B1C1是正方形，且
求多面体的体积.

12、（韶关市2016届高三上学期调研）如图，四边形是矩形，,是的中点，及交于点, 平面.
（Ⅰ）求证：面；
(Ⅱ) 若,求点到平面距离.

13、（湛江市2016年普通高考测试（一））如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点。
（I）证明：CD⊥平面AA1B1B；
（II）若AA1＝1，AC＝2，求三棱锥C1－A1DC的体积。

14、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））如图3，正方形的边长为，、分别是和的中点，是正方形的对角线及的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连结PA，PB，PD（如图4）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的高.

15、（珠海市2016届高三上学期期末）
第19题图
如图，四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面平面
(I)求证面
(II)若为正三角形，，且四棱锥的体积为，求侧面的面积.

参考答案
一、选择、填空题
1、【答案】A
【解析】原几何体是一个球被切掉左上角的后所得的几何体(如图所示)，
其体积是球的体积，即，故球的半径；
其三视图表面积是球面面积和三个扇形面积之和，即
，故选A．
2、【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A.
3、【答案】A
【解析】如图所示：∵，若设平面平面，
则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故
同理可得：
故、的所成角的大小及、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．
4、【答案】C
【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为，故选C.
5、【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积
，故选B．
6、【答案】B

7、【答案】B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：本题主要考查圆锥的性质及圆锥的体积公式
8、【答案】B
【解析】
试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球及半个圆柱的组合体，圆柱的半径及球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16 + 20，解得r=2，故选B.
9、A　
10、【答案】B
【解析】∵，∴，
∴圆心在平面的射影为D的中点，
∴，∴．
∴，
当线段为截面圆的直径时，面积最小，
∴截面面积的最小值为．
11、A　
12、B　
13、【答案】B.
【解析】解：由三视图可知该几何体是四棱锥，利用勾股定理可求出棱长分别为，2，，3等，故选B
14、A　　
15、B　　
16、A　

二、解答题
1、

（II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.
连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.
由（I）知，是的中点，所以在上，故
由题设可得平面，平面，所以，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得
在等腰直角三角形中，可得
所以四面体的体积

2、试题解析I）由已知得，
又由得，故
由此得，所以.
（II）由得
由得
所以
于是故
由（I）知，又，
所以平面于是
又由，所以，平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥体积
3、

（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积. .....12分
4、【答案】（I）见解析（II）
试题解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.
又AC⊥平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED
（II）设AB=，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.
因为AE⊥EC，所以在AEC中，可得EG=.
由BE⊥平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，EAD的面积及ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为.
5、解：
（Ⅰ）因为是直三棱柱，所以平面，而 AB平面，
所以，.
又，.
平面，又平面，
.
由题设知及均为直角三角形，
，，
，.
………6分

…
…

设，则，即.
又，平面 .
（Ⅱ .
平面，.
由（1）知，，，
.
设点到平面的距离为 ，则
，
.
………12分

…
…

即点到平面的距离为.
6、【解析】（1）证明：∵，
∴为正三角形，∴．
∵,为公共边，
∴．
∴,∴．
∵四棱柱是直四棱柱，
∴平面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（2）∵∥，∴,
由（1）知．
∵四棱柱是直四棱柱，
∴平面，∴．
∵，∴平面．
记,
∴,
∴三棱锥的体积为．
7、(Ⅰ)证明：∵ △是等腰直角三角形，，点为的中点，
∴ . ………………………………………1分
∵ 平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面.………………………………2分
∵ 平面,
∴ ∥.………………………………………3分
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.………………………………4分
(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………………5分
过作，垂足为点，
∵ 平面,平面,
∴ . ………………………………………6分
∵ 平面,平面,，
∴ 平面. ………………………………………7分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，.………………………………9分
∴ ………………………………………10分
………………………………………11分
.
∴ 三棱锥的体积为. ………………………………………12分
解法2: 由(Ⅰ)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离. …………………5分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，. ………………………………………6分
连接, 则, . ……………………………7分
∴ ………………………………………10分
………………………………………11分
.
∴ 三棱锥的体积为. ………………………………………12分
8、【解析】（1）证明：连接，在菱形中，
∵且，
∴为等边三角形．
∵是的中点,
∴，．
∵平面,平面,
平面,
∴平面．
∵平面,∴．
∵矩形中，,是的中点,
∴为等腰直角三角形，∴，
同理可证，∴，∴．
∵，平面平面，
∴平面．
（2）设，则，
在中，，，
，∴．
∴．
∵平面,,
平面,∴平面．
设为点到平面的距离，则．
∴，
∵，∴．
作交于点．
∵平面，∴．
∴平面,
即为求点到平面的距离，
∵在中，，，∴．
∴点到平面的距离为．
9、【解析】
⑴证明：连接
为等腰梯形，为中点， ，所以为等腰三角形，又，故为等边三角形.
，为的中点，，
由，，，得全等于，知，，故，，得. …………6分

⑵因为，，所以，， …………12分
10、【解析】（I） 连接DE，由题意可知四边形ABED和AECD是平行四边形，
又AB=AD，所以ABED是菱形 （2分）
故， 即， （4分）
又因为，、平面，所以平面．（5分）
由题可得AE∥CD，所以 （6分）
（Ⅱ） 连接CM，由（Ⅰ）得AB=AE=BE=2 ，所以为等边三角形 ，
（7分）
又，
，即 （9分）
又，，平面CDE （10分）
（11分）
（12分）
11、（I)证法1：连结AC1，设AC1及A1C相交于点E，连接DE，
则E为AC1中点，-------------------------------2分
∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分
∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD，------------5分
∴BC1∥平面A1CD. -----------------------------6分
【证法2：取中点，连结和，-----1分
∵平行且等于 ∴四边形为平行四边形
∴ -----------------------------------2分
∵平面，平面
∴平面,----------------------------3分
同理可得平面------------------------4分
∵ ∴平面平面
又∵平面
∴BC1∥平面A1CD. -------------------------------6分】
(Ⅱ) -------------------------------------7分
又 ，
又 面-------------------------------------------9分
（法一）∴所求多面体的体积-----------------------10分

即所求多面体的体积为.----------------12分
【（法二过点作于，
∵平面平面 且平面平面
∴平面,----------------------------------------------------------10分
∴所求多面体的体积
.------------------------------------------12分】
12、证法1：
∵四边形为矩形，∴∽，
∴ ……………1分
又∵矩形中，，∴
在中，
∴， ……………2分
在中，
∴，即 ……………4分
∵平面，平面 ∴ ……………5分
又∵，平面 ∴平面 ……………6分
证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1．
（2）在中，
在中， ………… ……………8分
在中，，
∴………………………………10分
设点到平面的距离为，则
， ………………………………11分
∴ ………………………………12分
13、

14、
（Ⅰ）证明： ∵、分别是和的中点，
∴EF//BD. （1分）
又∵，∴，
故折起后有. （2分）
又，所以平面． （3分）
又∵平面，∴， （4分）
∵，平面，
∴平面， （5分）
又平面，∴ （6分）
（Ⅱ）解：∵正方形的边长为，
∴，， （7分）
∴是等腰三角形，连结，则，
∴的面积 （8分）
设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为
（9分）
由（Ⅰ）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：
（11分）
∵，即，解得，即三棱锥的高为. （12分）
15、(I)证明：由于四边形为平行四边形，所以为的中点；连接
　　　　　 ———1分
　　　　　　平面平面，
又平面平面，平面
　面 —————4分
又，且，
面 —————6分
(II)解：由(I)知面，所以，可知底面为菱形;
设，又因为，所以，
因为为正三角形，所以 —————7分
由(I)知，从而为直角三角形， —————8分
Ｅ
解得： ———9分
所以、、
—————10分
取的中点，连接，可知
—12分

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