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初一数学绝对值难题解析
绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对根本概念的理解程度和根本性质的灵活运用能力。
绝对值有两个意义：
〔1〕代数意义：非负数〔包括零〕的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
即|a|＝a〔当a≥0〕 , |a|＝－a 〔当a＜0〕
〔2〕几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。
灵活应用绝对值的根本性质：
〔1〕|a|≥0；〔2〕|ab|＝|a|·|b|；〔3〕|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)
〔4〕|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；〔5〕|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；
思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？
|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？
常用解题方法：
〔1〕化简绝对值：分类讨论思想〔即取绝对值的数为非负数和负数两种情况〕
〔2〕运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。
〔3〕零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。
例题解析：
第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用
1、在数轴上表示a、b两个数的点如下图，并且表示c的点在原点左侧，请化简以下式子：

〔1〕|a－b|－|c－b|
解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0
c＜0，b＞0 ∴c－b＜0
故，原式＝〔b－a〕－(b－c) ＝c－a
〔2〕|a－c|－|a＋c|
解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0
      当a－c≥0时，a≥c，原式＝〔a－c〕＋(a＋c)＝2a
当a－c＜0时，a＜c，原式＝〔c－a〕＋(a＋c)＝2c
2、 设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。
解：∵x＜－1 ∴x－2＜0
原式＝2－|2－〔2－x〕|＝2－|x|＝2＋x
3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。
解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0
原式＝〔a－3〕－(a－6) ＝3
4、 |a－b|＝a＋b，那么以下说法：〔1〕a一定不是负数；〔2〕b可能是负数；哪个是正确的？
答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，
解得b＝0，这时a≥0；
当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，
解得a＝0，这时b＞0；
综上所述，〔1〕是正确的。
第二类：考察对绝对值根本性质的运用
5、 2021|x－1|＋2021|y＋1|＝0，求x＋y＋2021的值？
解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0  ∴2021|x－1|＋2021|y＋1|≥0
又∵2021|x－1|＋2021|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0
∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2021＝2021
6、设a、b同时满足：
(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1
(2) |a－4|＝0
那么ab等于多少？
解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0  ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0
∴ 〔1〕式＝|a－2b|＋b－1＝b－1 ，得|a－2b|＝0，即a＝2b
∵ |a－4|＝0   ∴a－4＝0，a＝4
∵ a＝2b  ∴ b＝2 ，ab＝4×2＝8
7、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,
请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c| 。
解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0
∵|ab|＝ab≥0 ，b≠0，a＜0  ∴b＜0，a＋b＜0
∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0 ，c－b＞0，a－c＜0
∴原式＝b＋〔a＋b〕－〔c－b〕＋c－a＝b
8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数〔a，b〕共有几对？
解：∵a，b都是非负整数 ∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数
∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1
分类讨论：
当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者 a＝1，b＝0 有两对〔a，b〕的取值；
当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对〔a，b〕的取值；
综上所述，〔a，b〕共有3对取值满足题意。
9、a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，
求|b－a|－|d－c|的值？
分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值根本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。
解：设x＝a－b，y＝c－d，那么|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|
∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25
∵|x-y|＝25  ∴|x|＝9，|y|＝16
∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x－|y|＝9－16＝－7
第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论

以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。
根据以上材料解决以下问题：
〔1〕  化简：2|x－2|－|x＋4|
〔2〕  求|x－1|－4|x＋1|的最大值。
解：〔1〕令x－2＝0，x＋4＝0，分别求得零点值：x＝2，x＝-4，分区段讨论：
当x≤-4时，原式＝－2〔x－2〕＋〔x＋4〕＝－x＋8
当-4＜x≤2时，原式＝－2〔x－2〕－〔x＋4〕＝－3x
当x＞2时，原式＝2〔x－2〕－〔x＋4〕＝x－8
综上讨论，原式＝…〔略)
〔2〕   使用“零点分段法〞将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比
较，从中选出最大值。
令x－1＝0，x＋1＝0，分别求得零点值：x＝1，x＝-1，分区段讨论：
当x≤-1时，原式＝－〔x－1〕＋4〔x＋1〕＝3x＋5 ，当x=-1时，取到最大值等于2；
当-1＜x≤1时，原式＝－〔x－1〕－4〔x＋1〕＝－5x－3，此时无最大值；
当x＞1时，原式＝〔x－1〕－4〔x＋1〕＝－3x＋3，此时无最大值。
综上讨论，当x=-1时，原式可以取到最大值等于2。
11、假设2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，那么此常数的值为多少？
解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。
即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4
令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：
当x≤1/3时，原式＝2x－〔5x－4〕－〔3x－1〕＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；
当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－〔5x－4〕＋〔3x－1〕＋4＝7，此时恒为常数7；
当x＞4/5时，原式＝2x＋〔5x－4〕＋〔3x－1〕＋4＝10x－1，此时也不是恒值。
综上所述，假设原式恒为常数，那么此常数等于7 。
12、假设|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，那么m等于多少？
解：∵当a≥0时，|a|＝a＝a＋1,得到0＝1矛盾  ∴a＜0，|a|＝－a＝a＋1，解得a＝－1/2。
∵|x|＝2ax＝－x，即x的绝对值等于它的相反数 ∴x≤0
令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分别求得零点值：x＝－1，x＝5，x＝m
∵x≤0 ∴要对m进展分类讨论，以确定分段区间：
〔1〕   假设m≥0，那么x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤0
当x≤－1，原式＝－〔x＋1〕－〔x－5〕－2〔x－m〕＝－4x＋4＋2m， x＝－1时取到最小值8＋2m
当－1＜x≤0，原式＝〔x＋1〕－〔x－5〕－2〔x－m〕＝－2x＋6＋2m， x＝0时取到最小值6＋2m
所以当m≥0时，最小值是6＋2m，令6＋2m＝7，得m＝0.5，符合题意
〔2〕   假设－1≤m＜0，那么x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0
当x≤－1，原式＝－〔x＋1〕－〔x－5〕－2〔x－m〕＝－4x＋4＋2m， x＝－1时取到最小值8＋2m, 因为－1≤m＜0，所以最小值≥6
当－1＜x≤m，原式＝〔x＋1〕－〔x－5〕－2〔x－m〕＝－2x＋6＋2m， x＝m时取到最小值6
所以当－1≤m＜0时，最小值是6，和题意不符。
〔3〕   假设m＜－1，那么x取值范围分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0
当x≤m，原式＝－〔x＋1〕－〔x－5〕－2〔x－m〕＝－4x＋4＋2m， x＝m时取到最小值4－2m
当m＜x≤－1，原式＝－〔x＋1〕－〔x－5〕＋2〔x－m〕＝4－2m，这时为恒值4－2m
当－1＜x≤0，原式＝〔x＋1〕－〔x－5〕＋2〔x－m〕＝2x－2m＋6，无最小值
所以当m＜－1时，最小值是4－2m，令4－2m ＝7，得m＝－1.5，符合题意
综上所述，m＝0.5或－1.5 。
第四类：运用绝对值的几何意义解题
1、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离，
即|x|=|x－0|
|x－1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离，
|x＋2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示－2的点的距离，
|a－b|的几何意义是在数轴上表示 a的点到表示b的点的距离。
2、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆，就是奇中偶范。即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。