高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解.doc

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解
高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解
一、选择题
1．(文)函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a＝　　　　　　　 B．a＝1
C．a＝2 D．a≤0
[答案]　D
[解析]　y′＝3ax2－1，
∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，
∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.
(理)(2010·瑞安中学)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2x＋m，由条件知，f ′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥，故选C.
2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y＝kx＋1及曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)
A．3　　 　B．－3　　　C．5　　 　D．－5
[答案]　A
[解析]　由条件知(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
又(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，∴a＋b＝2，
∵y′＝3x2＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1，∴b＝3.
(理)(2010·山东滨州)已知P点在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1,0)
C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1)
[答案]　C
[解析]　∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C.
3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案]　C
[解析]　由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C.
[点评]　本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点．
4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f ′(x)为其导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为(　　)

A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－，)

C．(2,3) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由f ′(x)图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f(x2－6)>1可化为0≤x2－6<3或0≥x2－6>－2，
∴20，且f(－2)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　)
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－2,0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2)
D．(－2，－∞)∪(2，＋∞)
[答案]　C
[解析]　设φ(x)＝f(x)g(x)，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴φ(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－φ(x)，故φ(x)为奇函数，
∵f(－2)＝0，∴φ(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，
∴φ(2)＝0，∵x<0时，φ′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上为增函数，∴φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，故使f(x)g(x)<0成立的x取值范围是x<－2或0π，π)的单调增区间是(　　)
A．(－π，－)和(0，)
B．(－，0)和(0，)
C．(－π，－)和(，π)
D．(－，0)和(，π)
[答案]　A
[解析]　y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
当x∈(－π，－)时，y′＝xcosx>0，∴y为增函数；
当x∈(－，0)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；
当x∈(0，)时，y′＝xcosx>0，∴y为增函数；
当x∈(，π)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；
∴y＝xsinx＋cosx在(－π，－)和(0，)上为增函数，故应选A.
6．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－30得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2数f(x)的两个单调区间内．请再练习下题：
已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．
[答案]　30，得x2>，若k≤0，则f(x)显然在(－3，－1)上单调递增，
∴k>0，∴x>或x<－.
由3x2－k<0得－ D．e2
[答案]　D
[解析]　∵y′＝·e，∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2，∴S＝e2.
8．已知a，b是实数，且eba
B．abe时，f ′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∵ef(b)，即>，
∴blna>alnb，∴lnab>lnba，∴ab>ba.
9．(2010·安徽合肥质检)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

[答案]　D
[解析]　不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0化为
(1)或(2)
∵f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,1)上单调减，
∴f ′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x)<0解集为(－1,1)，
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3，
由x2－2x－3<0得，－13；
由(2)得，∴－1x2分别在(0,1)和(1,2)内，∴f ′(0)＝2b>0，f ′(1)＝1＋a＋2b<0，f ′(2)＝4＋2a＋2b>0，作出可行域如图中阴影部分，当直线z＝b－2a经过可行域内点A(－1,0)时，z取最小值2，经过点B(－3,1)时，z取最大值7，
∴b－2a∈(2,7)．

(理)(2010·延边州质检)定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f ′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f ′(x)的图象如下图所示，若两正数a，b满足，f(2a＋b)<1，则的取值范围是(　　)
A. B.∪(3，＋∞)
C. D．(－∞，－3)

[答案]　A

[解析]　∵f(4)＝1，∴f(2a＋b)<1化为f(2a＋b)0，∴2a＋b>0，由图知在(0，＋∞)上，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴2a＋b<4，
如图，可行域为△AOB的内部(不含边界)，表示可行域内点及点P(－2，－2)连线的斜率，

∵kPA＝，kPB＝3，∴<<3.
[点评]　特别注意f ′(x)的图象提供了f(x)的单调性，从而利用单调性将不等式f(2a＋b)<1化去函数符号“f ”，转化为通常的二元一次不等式，请再练习下题．
已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f ′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f ′(x)的图象如右图所示，若两正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是________.
x
－2
0
4
f(x)
1
－1
1

答案：
二、填空题
11．(2010·北京顺义一中月考)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．
[答案]　3
[解析]　f ′(x)＝3x2－a，∵f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，∴a的最大值为3.
12．(文)(2010·绵阳市诊断)已知函数f(x)＝lnx＋ax的图象在x＝1处的切线及直线2x－y－1＝0垂直，则a＝________.
[答案]　－
[解析]　∵f ′(x)＝＋a，∴f ′(1)＝1＋a，由条件知，1＋a＝－，∴a＝－.
(理)(2010·绵阳市诊断)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线及直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．
[答案]　1
[解析]　∵f ′(x)＝－a，
∴f ′(1)＝－a.
由题知－a＝，
解得a＝1.
13．(2010·浙江杭州冲刺卷)函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f ′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．

[答案]　2
[解析]　由f ′(x)在(a，b)上的图象可知f ′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．
14．(2010·广州市质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)b的值为________；
(2)f(2)的取值范围是________．
[答案]　(1)0　(2)
[解析]　(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，
∴f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，
∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，
∴b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，
∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.
∵f ′(x)＝－3x2＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝.
又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，
∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x2＝>1，即a>.
∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>－.
故f(2)的取值范围为.
三、解答题
15．(文)设函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．
[解析]　(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b，由已知－2,4是方程x2＋ax－b＝0的两个实根，由韦达定理，
∴，f(x)＝x2－2x－8.
(2)g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b≤0，
即fx)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立
这只需满足即可，也即，而a2＋b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原点最近．所以当时，a2＋b2有最小值13.
(理)(2010·广东文，20)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．
(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性；
(3)求出f(x)在 [－3,3]上的最小值及最大值，并求出相应的自变量的取值．
[解析]　(1)由f(－1)＝kf(1)，f(2.5)＝f()知需求f()和f(1)，f(1)＝－1，f()＝×(－2)＝－，∴f(－1)＝－k，f(2.5)＝－
(2)∵对任意实数x，f(x)＝kf(x＋2)，
∴f(x－2)＝kf(x)，
∴f(x)＝f(x－2)，
当－2≤x<0时，0≤x＋2<2，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)·x，
当－3≤x<－2时，－1≤x＋2<0，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋4)(x＋2)，
当2≤x≤3时，0≤x－2≤1，∴f(x)＝f(x－2)＝(x－2)(x－4)．
综上知，f(x)＝，
∵k<0，∴由f(x)的解析式易知f(x)在[－3，－1]及[1,3]上是增函数，在[－1,1]上为减函数．
(3)∵f(x)在[－3，－1]上单调增，在[－1,1]上单调减，在[1,3]上单调增，∴f(－1)＝－k为极大值，f(1)＝－1为极小值，又f(－3)＝－k2，f(3)＝－，k<0，
∴最大值为f(－1)或f(3)，最小值为f(1)或f(－3)，
令－k＝－得，k＝±1，令－1＝－k2得k＝±1，
又k<0，∴k＝－1，
∴当－1－1，
此时fmax(x)＝f(3)＝－，fmin(x)＝f(1)＝－1；
当k≤－1时，－k≥－，－k2≤－1，此时fmax(x)＝f(－1)＝－k，fminx)＝f(－3)＝－k2.
16．(文)(2010·哈三中)已知函数f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，其图象在点(1，f(1))处的切线及直线x－6y＋21＝0垂直，导函数f ′(x)的最小值为－12.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)在x∈[－2,2]的值域．
[解析]　(1)f ′(x)＝3ax2＋c，则，
则，所以f(x)＝2x3－12x.
(2)f ′(x)＝6x2－12，令f ′(x)＝0得，x＝±.
所以函数y＝f(x)在(－2，－)和(，2)上为增函数，在(－，)上为减函数．
f(－2)＝8，f(2)＝16－24＝－8，f()＝－8，f(－)＝8，
所以y＝f(x)在x∈[－2,2]上的值域为[－8，8]．
(理)(2010·山东威海)已知函数f(x)＝6lnx(x>0)和g(x)＝ax2＋8x－b(a，b为常数)的图象在x＝3处有公切线．
(1)求实数a的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的极大值和极小值；
(3)关于x的方程f(x)＝g(x)有几个不同的实数解？
[解析]　(1)f ′(x)＝，g′(x)＝2ax＋8
根据题意得，f ′(3)＝g′(3)，解得a＝－1
(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝6lnx＋x2－8x＋b
令F′(x)＝＋2x－8＝0得x＝1或x＝3
∵0x)>0，F(x)单调递增；
13时，F′(x)>0，F(x)单调递增；
∴F(x)极大值为F(1)＝b－7，
∴F(x)极小值为F(3)＝b－15＋6ln3.
(3)根据题意，方程f(x)＝g(x)实数解的个数即为函数F(x)＝f(x)－g(x)＝6lnx＋x2－8x＋b零点的个数
由(2)的结论知：
①当b－7<0或b－15＋6ln3>0，即b<7或b>15－6ln3时，函数F(x)仅有一个零点，也即方程f(x)＝g(x)有一个实数解；
②当b＝7时或b＝15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有两个实数解
③当b－7>0且b－15＋6ln3<0，即715－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有一个实数解；当b＝7或b＝15－6ln3时，方程f(x)＝g(x)有两个实数解；当7x∈(0，＋∞)．
f ′(x)＝＋1－＝，x∈(0，＋∞)，
因此f ′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln2＋2，
所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.
(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，
所以f ′(x)＝－a＋＝－　x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，
①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；
②当a≠0时，g(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，x∈(0，＋∞)
(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(ⅱ)当01>0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；
x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，由－1<0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)单调递减
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0有f ′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(－，＋∞)
f ′(x)＝
由题意，解得，∴a＝－.
(2)若b＝，则f(x)＝aln(2x＋1)＋x＋1.
f ′(x)＝.
①令f ′(x)＝>0，由函数定义域可知，4x＋2＝2(2x＋1)>0，所以2x＋4a＋1>0(※)
1°当a≥0时(※)总成立，∴x∈时，
f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
2°当a<0时，由(※)式得x>－2a－，∵－2a－>－，∴x∈，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
②令f ′(x)＝<0，即2x＋4a＋1<0
1°当a≥0时，不等式f ′(x)<0无解；
2°当a<0时，解2x＋4a＋1<0得x<－2a－，
∴x∈，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；
综上：当a≥0时，函数f(x)在区间为增函数；
当a<0时，函数f(x)在区间为增函数；
在为减函数．

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