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浙江高考数学三角函数最实用知识点汇编
高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数

2、角的顶点及原点重合，角的始边及轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为__________________
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、及角终边相同的角的集合为
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
6、弧度制及角度制的换算公式：，，．
7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
Pv
x
y
A
O
M
T
8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它及原点的距离是，则，，．
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：，，．
11、角三角函数的基本关系：；．
三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：鸡便偶不变，符号看象限．
，．，．
口诀：鸡便偶不变，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
②数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
14、函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为的向量．
单位向量长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量及任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数及向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘记作．
①；
②当时，的方向及的方向相同；当时，的方向及的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量及共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、定比分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量及任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当及同向时，；当及反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或． 设，，则．
设、都是非零向量，，，是及的夹角，则．
第三章 三角恒等变换
24、两角和及差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，．
⑶．
26、

（后两个不用判断符号，更加好用）
27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角及角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件及结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍是的二倍；
②；问： ； ；
③；④；
⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：； ；
；；
；；
； ；
；
= ；
= ；（其中 ；）
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值及特殊角的三角函数互化。
如： ；
。
第四章 解三角形
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。

2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边及它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。
（4）．三角形的面积公式：
＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边及它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。
3．三角形的面积公式：
（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知及所求，并画出示意图；
（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1：正、余弦定理
1（15北京文科）在中，，，，则 ．
2.（15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.（15年安徽文科）在中，，，，则 。

4.（15年福建文科）若中，，，，则_______．
5.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.
（I）求 ；
（II）若,求.

6.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量及平行.
(I)求；
(II)若求的面积.

7．（15年天津文科）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
（I）求a和sinC的值；
（II）求 的值.

题型2三角形面积
1、（2013 新课标2）的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、在中，，，，求的值和的面积。

题型3：三角形中的三角恒等变换问题
1． 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状
1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
题型5：三角形中求值问题
1、的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

三、课后跟踪训练
1.（2010上海文数18.）若△的三个内角满足
，则△ （ ）
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=( )
（A） （B） （C） （D）
3.（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=（ ）
A － B C － D
4.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
5（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 .
6.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b

8.2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；（II）若，求的值。

9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）
在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

10.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，
且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.

11.（2010辽宁理数）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，
且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.

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