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概率论与数学统计总结复习
第一章　随机事件及概率
1．贯穿本章的基本概念可总结为三个方面：
1）随机试验，随机事件及基本事件，样本空间及样本点；
2）事件关系及其运算，对偶法则及互不相容分解（）；
3）概率的概念及性质，古典概型。
2．关于概率计算，首先要熟练运用古典概率计算公式及排列组合公式直接解题，其次要紧扣题设条件、选择适当公式、正确完成计算. 计算公式汇集如下：
1) 逆事件概率公式：。
注1：当直接计算A时问题较为复杂，难以计算，可考虑用逆事件概率公式进行简化。
注2：题目中出现“至少”，首先考虑是否可用逆事件概率进行计算；如果不可行，再利用加法公式。
2）加法公式：

。
若A1，A2，…，An是相互独立事件，则

　　　　　　　 .
3）减法公式：。
强调：利用概率的性质进行计算时，首先画出事件的文氏图，把概率的计算当做是图形面积的计算，可以得到正确的结果。

第二章　条件概率及独立性
1．贯穿本章的基本概念可总结为两个方面：
1）条件概率及其三个应用；2）事件的独立性。
2．关于条件概率，首先要熟练掌握定义：。
注：题目出现条件概率，首先考虑按照定义展开。
3. 对于条件概率，用三个重要的应用：
1）乘法公式：；
一般情形：。
注：应用场合：n个事件的发生有着明显的先后顺序，考虑n个事件同时发生的概率时可使用乘法公式。但一般情形的乘法公式不是经常用到。
2）全概率公式：设B1 , B2 ,…, Bn为样本空间Ω的一个划分，如果P(Bi )＞0, i＝1,2,…,n, 则对Ω中的任一事件A, 有。
注：应用场合：问题有明显的时间先后顺序，考虑后一步发生的概率，应考虑使用全概率公式，划分的选取由前一步决定。
3）贝叶斯公式：。
注：应用场合：贝叶斯公式是全概率公式的后续问题，它求解的是已知结果出现，考虑原因的条件概率，做题时应注意。
强调：这些公式有特定的应用场合，做题时先分析清楚是否需要使用，应该如何使用！
4．关于事件的独立性，掌握两个事件和三个事件独立性的定义。
注1：事件的独立性及事件的互不相容是两个完全不同的概念，要注意区分。
注2：做题时一定要看清楚A和B是否相互独立。

第三章　一维随机变量及其分布
1．本章概念多，抽象性强. 从应用需要看，要理解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布列、分布密度、分布函数、随机变量函数的概念，特别要掌握描述随机变量取值概率规律的分布.
2.关于分布函数：1）定义：。
注：分布函数的定义域为全体实数。
2）性质：单调不减；；右连续性。
3）利用分布函数计算事件的概率：。
4）特殊情形下的分布函数：若X为离散型随机变量，则X的分布函数F(x) 是分段阶梯函数, 在 X的可能取值xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk ；
若X为连续型随机变量，则，要能正确地确定积分上下限进行计算。
3．关于离散型随机变量，一切问题的处理都依赖于分布律，内容相对简单。
4．关于连续型随机变量，一切问题的处理都依赖于概率密度f (x)。
注：重要的计算公式：（用于求未知参数的值）；。
5．熟练掌握常用的三种离散型随机变量和三种连续型随机变量：
X
0
1
P
1-p
p
1）两点分布：

2）二项分布：在n次独立重复试验中，X表示n次试验中事件A发生的次数，
，（k＝0，1，2，…，n），记为B(n，p).
注：要注意二项分布的应用背景，题目中出现“发生的次数”，应联想到二项分布。
3）泊松分布：， （k＝1，2，…），简记为P(λ).
注：题目中出现“k!”，应联想到泊松分布。
4）均匀分布：在区间[a,b]上随机地取一个数，X表示数的坐标，则X的概率密度为
　　简记为U[a,b].
5）指数分布: 简记为EP(λ)。
注：题目中出现“e-λx”，应联想到指数分布。
6）正态分布：，简记为 .
特别地，标准正态分布N(0,1)，密度函数用φ(x)表示，分布函数用Φ(x)表示。
注1：题目中出现“e-ax2+bx+c”，应联想到正态分布。
注2：正态分布的密度函数关于“x=μ”对称，有些题目可以根据对称性求解。
注3：正态分布相关事件概率的计算：“标准化”
。
注4：重要结论：。
6．关于随机变量函数的分布，方法比较固定，大家可以看课件或者作业题，这里不再详述。
第四章　多维随机变量及其分布
1. 多维随机变量是由两个以上随机变量构成，其概率特性不仅决定于各个分量，同时也及这些随机变量的联合特征有关，这是处理多维随机变量在方法上要更为复杂的原因.
2. 本章很多定义是一维情形的推广，所以在这一章的学习中，要掌握相应的计算公式并能正确地进行计算。重要计算公式总结如下：
3. 关于离散型随机变量，掌握住联合分布律的表格：

注：判断离散型随机变量X和Y的独立性，即验证联合分布律是否为边缘分布律的乘积。
4. 关于连续型随机变量，重要计算公式：(用于求未知参数的值)；
，（一定要能正确确定积分上下限）；
（是否成立用于判断X和Y是否相互独立）。
5. 两个常见分布：二维均匀分布：
二维正态分布的常见性质：
1），；
2）X及Y的相关系数为ρ，且X及Y独立当且仅当不相关。
6．关于离散型随机变量函数的分布，方法比较固定，大家可以看课件，这里不再详述。
关于连续型随机变量函数的分布，要掌握X+Y，max(X,Y)和min(X,Y)的相关计算。
第五章　随机变量的数字特征
1．随机变量的数学期望是一个实数，它形式上是以概率为权的加权平均，实质上它体现了随机变量取值的集中位置或平均水平. 熟练掌握其计算公式：
1）离散型　，，
；
2）连续型 ，，
。
2．熟练掌握数学期望的性质：
1）； 2）；
3）若X和Y相互独立，则。
3．方差是衡量随机变量取值集中（分散）程度的重要数字指标. 熟练掌握方差的计算公式：
。
4．熟练掌握方差的性质：
1）； 2）；
3）若X1,…,Xn相互独立，则；
注：一定要注意系数的平方！
注：若X1,…,Xn相互独立且满足Xi 服从N (μ i,σi2)，则
.
5. 熟练掌握常见分布的期望和方差结果。
6. 协方差可理解为协助计算随机变量和的方差，熟练掌握协方差的计算公式：
。
7. 相关系数用于刻画随机变量之间的线性关系，熟练掌握相关系数的计算公式：
。
注：如果你在做题时求出的相关系数为0，记得检查一下你的计算是否正确，你是否把X和Y错误的认为是相互独立的。
8. 熟练掌握相关系数的性质：
1）|ρ|=1 的充要条件是 P(Y=aX+b)=1；
2）X和Y不相关等价于ρ=0；等价于cov(X,Y)=0；等价于 E(XY)=EXEY；
等价于D(X±Y)=DX+DY。

第六章　大数定律和中心极限定理
1．掌握切比雪夫不等式的结论：。
2．简单了解一下大数定律的结论：。
3．掌握中心极限定理的结论：。会利用中心极限定理做近似计算。
第七章　数理统计的一些基本概念
1. 涉及本章的概念，除样本观测值以及及此有关的概念外，都要充分揭示它们的随机性内涵. 否则，概念的实质无法理解，思想方法更难把握.
总体X —－体现某种特征的数量指标－－随机变量.
简单随机样本(X1，X2，…，Xn）－－独立同分布的随机变量.
统计量 g(X1，X2，…，Xn）且不含任何未知参数－－随机变量.
样本矩－－样本均值、样本方差、样本修正方差－－随机变量.
2. 常用统计量有： －－样本均值.
－－样本方差.
－－样本修正方差.
－－样本r阶原点矩.
重要结论：，，，。
3. 掌握三大抽样分布：分布、t分布、F分布的构造性定义，对于给定的问题，要能够判断出其所属的类型，参考课件上的相关例题。
4. 掌握上α分位点的定义，会画图表示。
5. 掌握正态总体下统计量的重要结论：；；
及相互独立。这是利用频率很高的三个结论。
第八章　参数估计和假设检验
1.熟练掌握两种点估计方法：矩估计法和最大似然估计法的计算步骤。
矩估计法的步骤：
第一步：分析总体中含有未知参数的个数（至多两个，大多数题目只有一个参数）；
第二步：计算总体X的矩（若一个参数只需计算EX，若有两个参数则需计算EX和EX2）；
第三步：令样本矩等于总体矩（这时矩估计方法的核心），建立关于参数的方程或方程组；
第四步：解方程，得到参数的矩估计。
最大似然估计的步骤：
第一步：计算似然函数；（对于离散型随机变量计算分布律，对于连续型随机变量计算概率密度）；
第二步：计算对数似然函数lnL(θ)；
第三步：令建立方程；
第四步：解方程，得到参数的最大似然估计。
4.掌握估计无偏性的定义：。做题时需求出统计量的数学期望进行验证。
5. 掌握正态总体下参数区间估计的各种形式，会计算相关的区间估计问题.
6. 掌握正态总体下参数假设检验的各种形式（见课本204页），会计算相关的假设检验问题.
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