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中考数学专题复习：相似图形
中考数学专题复习 相似图形

【基础知识回顾】
一、 成比例线段：
、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为、则这两条线段的比就是它们 的比，即：
、比例线段：四条线段、、、如果 那么四条线段叫做同比例线段，简称
、比例的基本性质：<＝>
、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线
【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值及用的单位无关 即比值没有单位。】
二、相似三角形：
、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似
、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于
⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于
1、 判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形及原三角形相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似
⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边的比 的两三角形相似
【名师提醒：、全等是相似比为 的特殊相似
、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
三、相似多边形：
、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形
、性质：⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】
一、 位似：
、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为
、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于
【名师提醒：、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】
【典型例题解析】
考点一：比例线段
例  如图，已知△，，∠°，∠的平分线交于点，则的长是 ，的值是 ．（结果保留根号）

考点：黄金分割；相似三角形的判定及性质；锐角三角函数的定义．
分析：可以证明△∽△，设，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得的值；
过点作⊥于点，则为中点，由余弦定义可求出的值．
点评：△、△均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．

对应训练
．如图，在△中，，∠°，平分∠交于点，若，则的长是（　　）
． ． ． ．

考点二：相似三角形的性质及其应用
例 已知△∽△，△的周长为，△的周长为，则及△的面积之比为 ：
．

对应训练
．已知△∽△′′′，相似比为：，△的周长为，则△′′′的周长为
．

考点三：相似三角形的判定方法及其应用
例 如图，在正方形中，是的中点，点在上，且 ．图中相似三角形共有（　　）
．对 ．对 ．对 ．对

考点：相似三角形的判定；正方形的性质．

例（）如图（），正方形的顶点、在正方形的边上，直接写出：：的结果（不必写计算过程）；
（）将图（）中的正方形绕点旋转一定角度，如图（），求：：；

考点：相似三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．

对应训练
.如图，△≌△且∠∠，∠∠，、交于点．则下列四个结论中①∠∠；②；③△∽△；④、、、四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）
．个 ．个 ．个 ．个

考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．

. 在锐角△中，，，∠°，将△绕点按逆时针方向旋转，得到△．
（）如图，当点在线段的延长线上时，求∠的度数；
（）如图，连接，．若△的面积为，求△的面积；
（）如图，点为线段中点，点是线段上的动点，在△绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，求线段长度的最大值及最小值．

考点：相似三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；旋转的性质．
专题：几何综合题．
分析：（）由由旋转的性质可得：∠∠°，，又由等腰三角形的性质，即可求得∠的度数；
（）由△≌△，易证得△∽△，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△的面积；
（）由①当在上运动至垂足点，△绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，②当在上运动至点，△绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值及最小值．
解答：解：（）由旋转的性质可得：∠∠°，，
∴∠∠°，..…（分）
∴∠∠∠°°°．

（）∵△≌△，
∴，，∠∠，
∴，∠∠∠∠，
∴∠∠，
∴△∽△．

∴，
∵△，
∴△；

（）①如图，过点作⊥，为垂足，
∵△为锐角三角形，
∴点在线段上，

在△中，×°，
当在上运动及垂直的时候，△绕点旋转，使点的对应点在线段上时，最小，最小值为：；
②当在上运动至点，△绕点旋转，使点的对应点在线段的延长线上时，最大，最大值为：．
点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
考点四：位似
例 如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上，正方形′′′′及正方形是以的中点′为中心的位似图形，已知，若点′的坐标为（，），则正方形′′′′及正方形的相似比是（　　）
． ． ． ．

考点：位似变换；坐标及图形性质．
分析：延长′′交于点，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的

对应训练
．如图，正方形及正方形是位似图形，为位似中心，相似比为：，点的坐标为（，），则点的坐标为（　　）
．（，） ．（ ． ．

考点：位似变换；坐标及图形性质．

【聚焦中考】
．已知矩形中，，在上取一点，沿将△向上折叠，使点落在上的点，若四边形及矩形相似，则（　　）
． ． ． ．

考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形′′′及矩形关于点位似，且矩形′′′的面积等于矩形面积的 ，那么点′的坐标是（　　）
．（，） ．（，） ．（，）或（，） ．（，）或（，）

考点：相似多边形的性质；坐标及图形性质．
.在菱形中，是边上的点，连接交于点，若，则 的值是（　　）
． ． ． ．

考点：相似三角形的判定及性质；菱形的性质．
.为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中⊥，⊥，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，∠； ②，∠，∠；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（　　）
．组 ．组 ．组 ．组

考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．
．如图，在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为（，），（，），（，）．已知△的两个顶点的坐标为（，），（，），若△及△位似，则△的第三个顶点的坐标为 （，）或（，）
．

考点：位似变换；坐标及图形性质．
．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△和△的顶点都在格点上，，，，，是△边上的个格点，请按要求完成下列各题：
（）试证明三角形△为直角三角形；
（）判断△和△是否相似，并说明理由；
（）画一个三角形，使它的三个顶点为，，，，中的个格点并且及△相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法及证明）．

考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．

【备考真题过关】
一、选择题
．已知 ，则 的值是（　　）
． ． ． ．
．如图，△为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．若△的边长为，，则的长为（　　）
． ． ． ．

．如图，在矩形中，，，点、、、分别在矩形的各边上，∥∥，∥∥，则四边形的周长是（　　）
． ． ． ．

考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．
．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段在乙图中的对应线段是（　　）

． ． ． ．
考点：相似图形．
.如图，六边形∽六边形，相似比为：，则下列结论正确的是（　　）
．∠∠
．
．六边形的周长六边形的周长
．六边形六边形

.下列×的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则及△相似的三角形所在的网格图形是（　　）

． ． ． ．
.如图，点在△的边上，要判定△及△相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
．∠∠ ．∠∠ ． ．

考点：相似三角形的判定．
．如图，在△中，∥， ，四边形，则△（　　）
． ． ． ．

考点：相似三角形的判定及性质．
.如图，在四边形中，∥，⊥，， ，点、分别为、的中点，则△及多边形的面积之比为（　　）
． ． ． ．

考点：相似三角形的判定及性质；三角形的面积；三角形中位线定理．
．（•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
．点 ．点 ．点 ．点

．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将△扩大到原来的倍，得到△′′．若点的坐标是（，），则点′的坐标是（　　）
．（，） ．（，） ．（，） ．（，）

考点：位似变换；坐标及图形性质．

二、填空题
.正方形的边长为，、分别是、上两个动点，且始终保持⊥，当 时，四边形的面积最大，最大面积为 ．

考点：相似三角形的判定及性质；二次函数的最值；正方形的性质．
.如图，为矩形的中心，为边上一点，为边上一点，⊥，若，，设，，则及的函数关系式为 。

考点：相似三角形的判定及性质；矩形的性质．
.如图，是▱的边上一点，连接并延长交的延长线于点，且， ，则的长为
．

考点：相似三角形的判定及性质；平行四边形的性质．
.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则∠的值是
．

考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
．如图，利用标杆测量建筑物的高度，标杆高，测得，，则楼高为
．

.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内处的运动员林丹把球从点击到了对方内的点，已知网高米，米，米，则林丹起跳后击球点离地面的距离
米．

考点：相似三角形的应用．
.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边及点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高
．

考点：相似三角形的应用．
. 如图，△及△为位似图形，点是它们的位似中心，位似比是：，已知△的面积为，那么△的面积是
．

考点：位似变换．

三、解答题
．己知：如图，在菱形中，点、分别在边、，∠∠，及交于点．
（）求证：；
（）当 时，求证：四边形是平行四边形．

考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定及性质；平行四边形的判定；菱形的性质．

．如图，在△中，∠°，点是边上的一点，⊥，且，过点作∥交于点．
求证：△∽△．

考点：相似三角形的判定．

．如图，在矩形中，，，沿直线对折，使、重合，直线交于．
（）求证：△∽△；     
（）求线段的长度．

考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理；矩形的性质．

.如图，在△中，∠°，米，米．点在线段上，从向运动，速度为米秒；同时点在线段上，从向运动，速度为米秒．运动时间为秒．
（）当为何值时，∠∠？
（）当为何值时，△的面积最大？并求出这个最大值．

考点：相似三角形的判定及性质；二次函数的最值．

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