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数学广角──找次品?单元练习试题及答案
一、填空
1．在10个零件里有1个是次品〔次品重一些〕，用天平称，至少称〔    〕次就一定能找出次品。
考察目的：主要考察对找次品的方法的掌握情况。
答案：3。
解析: 可以把10个零件分成三组〔3，3，4〕，把含有3个零件的两组分别放在天平两端。假设天平平衡，那么次品在剩下的一组里，把剩下的一组分为两组〔2，2〕，分别放在天平两端，下沉的一端当中含有次品，再分成两组〔1，1〕放在天平两端，找出重的一个即为次品；假设天平不平衡，把重的一组分成〔1，1，1〕，任选其中两个称量。假设天平平衡，那么剩余一个就是次品；假设天平不平衡，那么下沉的一端所放的就是次品。由上述分析可知至少称3次就一定能找出次品。
2．灰太狼用1瓶变形药水〔质量比纯洁水要稍重一点〕偷换了羊村的15瓶纯洁水中的1瓶，聪明的喜羊羊至少要称〔    〕次才能保证找出这瓶变形药水。
考察目的：对找次品的方法的掌握。
答案：3。
解析:可以把15瓶平均分成三份〔5，5，5〕，把其中的2份分别放在天平上，如果平衡，那么剩下的一份就是含有变形药水的；如果不平衡，重的一份就是含有变形药水的一份。再把重的这份分成〔2，2，1〕，用天平来判断找出重的一瓶即为变形药水。
3．为了用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进展分组吗？

考察目的：找次品中进展合理分组的能力
答案：

解析: 在找次品的过程中，为了用最少的次数找出次品，应尽可能把待测物品平均分成3份，故6个待测物品可分为〔2，2，2〕三组；当待测物品为15个时，至少需要称量3次，可分为〔5，5，5〕三组；当待测物品为19个时，至少需要称量3次，可分为〔7，7，5〕三组；当待测物品为25个时，至少需要称量3次，可分为〔9，9，7〕三组。在分组过程中，可以进展比拟，找到解决问题的多种策略及最正确策略。
4．有5个零件，其中有一个是次品，重量稍重，根据如下图可以推断出〔        〕号零件一定是正品。

考察目的：对找次品的逻辑推理过程的掌握。
答案：③④⑤。
解析:根据找次品的方法，由于只有一个是次品且其质量稍重，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的3个零件都是正品，从而进展正确解答。
5．一个偶然的时机，阿凡提从他的朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻，于是他找来一架天平，想用它找出那枚假的硬币。想一想，他至少需要用天平称〔    〕次才能找出假的硬币。
考察目的：利用找次品的方法解决实际问题。
答案：2。
解析:根据题意，把8枚金币分成三组〔3，3，2〕，把3个一组的分别放在天平的两端。假设天平平衡，那么次品在2个的一组里，把这2个分成两组〔1，1〕，放在天平两端，轻的就是次品；假设天平不平衡，就把轻的一组分成〔1，1，1〕，任选两个放在天平上，假设天平平衡，那么没称的是次品；假设天平不平衡，那么轻的是次品。由此可知至少称两次才能找出假的硬币。
二、选择
1．有三袋食盐，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克轻还是比500克重。用天平至少称〔    〕次能保证称出这袋食盐比500克重或轻。

考察目的：对找次品的方法的掌握。
答案：B。
解析:可先把其中2袋放在天平两端称量，假设天平平衡，把未取的那袋与天平上任一袋分别放在天平两端，如果未取的那一袋在低端，那这袋食盐比500克重，反之比500克轻；假设第一次称量时天平不平衡，就用同上方法逐步分析进展判断，从而得出结论。
2．在一批外表一样的零件里混入了一个次品〔次品轻一些〕，如果能用天平称量的方法找这个次品，最好的方法是先把这批零件平均分成〔    〕份，然后再称。

考察目的：主要考察对找次品的合理分组方法的掌握。
答案：C。
解析:如果分成2份，每份的零件数量多，相对来说需要称的次数就会变多；分成4份最少要称2次才能保证找出次品在哪一份当中；故最好分成3份，这样称的次数相对较少，且一次就能找出次品在哪一份当中。
3．在15瓶口香糖中，14瓶的质量一样，只有1瓶比其他瓶少4片。如果要确保找出轻的那一瓶口香糖，至少需要用天平称〔     〕次。

考察目的：对找次品的方法的掌握。
答案：B。
解析可把15瓶口香糖分成三组〔5，5，5〕，任选其中两组放在天平两端。假设天平平衡，那么次品在剩下的一组里，把这组分成三组〔2，2，1〕，称量两组〔2，2〕，从而找出次品；假设天平不平衡，找出轻的一组分成三组〔2，2，1〕，称量两组〔2，2〕，找出次品。由上述分析可知，至少需要用天平称3次。
4．有12箱桃子，其中11箱质量一样，有1箱质量缺乏，至少称〔    〕次保证一定能找出质量缺乏的这箱。

考察目的：对找次品的方法的掌握。
答案：A。
解析:把12箱桃子分成三组〔4，4，4〕，任选其中两组放在天平两端，从而找出质量缺乏的那箱在哪一组内。再把含有次品的一组分成两组〔2，2〕放在天平两端，找出其中轻的一组继续分成两组〔1，1〕进展称量，从而找出次品。由上述分析可知，至少需要用天平称3次。
5．有27个零件，其中有一个零件是次品〔次品轻一些〕，用天平称，至少称〔     〕次能保证找出次品零件。

考察目的：主要考察学生依据天平平衡原理找次品的能力。
答案：D。
解析:把27个零件分成三组〔9，9，9〕，第一次把其中两份分别放在天平两端，假设平衡，那么次品在未取的一份里；假设不平衡，那么次品在轻的一端的一份里。把含有次品的一份分成三组〔3，3，3〕，其中两份放在天平两端，假设平衡，那么次品在未取的一份里；假设不平衡，那么次品在轻的一端的一份里。从含有次品的3个零件中取两个放在天平两端，假设平衡，那么未取的那个是次品；假设不平衡，轻的一端的就是次品。由此可知至少称3次能保证找出次品零件。
三、解答
1．根据图示信息答复下列问题。

〔1〕如果用天平称，至少称几次可以保证找出被吃掉5个的那一筐？请写出主要过程。
〔2〕如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？
考察目的：对找次品的方法的掌握。
答案：〔1〕根据题意，可把11个苹果分成〔4，4，3〕三组，先称量〔4，4〕两组。假设天平平衡，那么次品在未取的那份中，在未取的3筐中找出轻的就是次品；假设天平不平衡，把轻的一组分成〔2，2〕两组称量，找出较轻的一组继续分成〔1，1〕称量，从而找出次品。
答：如果用天平称，至少称3次可以保证找出被吃掉5个的那一筐。
〔2〕答：如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来。
解析:根据题意可知，被吃掉5个的那筐苹果一定比其他筐的重量要轻。教师应引导学生进展合理分组，从而用尽可能少的次数找出次品。
2．1箱牛奶有12袋，其中11袋质量一样，另1袋质量缺乏，如果用天平来称，至少称几次能保证找出这袋牛奶？
考察目的：运用找次品的知识解决实际问题。
答案：把12袋牛奶分成〔4，4，4〕三组，任选两组称量。假设天平平衡，那么次品在未取的那组中，把未取的4袋分成〔2，2〕两组称量，找出轻的一组分成〔1，1〕称量，从而找出次品；假设天平不平衡，找出轻的一组分成〔2，2〕两组称量，再找出轻的一组分成〔1，1〕称量，从而找出次品。
答：至少称3次能保证找出这袋牛奶。
解析:根据题意可知，把12袋牛奶平均分为3份可用尽可能少的次数找出次品。教师应引导学生进展分析与合理分组，利用天平平衡原理，用最少的次数找出次品。
3．爸爸买了5个冰淇淋，其中4个都是150克，另外1个有155克。用天平称，至少称几次一定能找出重155克的那个冰淇淋？

考察目的：主要考察依据天平平衡原理解决找次品问题的能力。
答案：首先从5个冰淇淋里任选4个，平均分成2份，分别放在天平的两端，假设天平平衡，那么未取的冰淇淋就是155克的；假设天平不平衡，把在天平重的一端的两个冰淇淋分别放在天平两端，比拟重的冰淇淋就是155克的。
答：至少称2次一定能找出重155克的冰淇淋。
解析:根据题意，可把其中4个分成两组〔2，2〕分别放在天平两端，假设平衡，那么未取的就是质量稍重的；假设不平衡，可以再进展合理分组，从而判断出次品。
4．有15袋花生，其中有一袋比其他的都要轻。问：
〔1〕至少称几次能找出轻的那袋？
〔2〕称一次有可能找出轻的那一袋吗？为什么？
考察目的：主要考察依据天平平衡原理解决实际问题的能力。
答案：〔1〕首先把15袋花生平均分成三份，即〔5，5，5〕分组，任取两份分别放在天平两端。假设天平平衡，那么较轻的那袋就在未取的5袋中；假设天平不平衡，从天平翘起的一端的5袋花生中任取4袋，平均分成两份，分别放在天平两端。假设天平平衡，那么较轻的那袋就是未取的；假设天平不平衡，把天平翘起的一端的2袋花生分别放在天平两端，翘起的一端所放的就是较轻的那袋。
答：至少称3次能找出轻的那袋。
〔2〕答：称一次有可能找出轻的那一袋。从15袋花生中任取14袋，平均分成两份，每份7袋，分别放在天平两端。假设天平平衡，那么未取的那袋就是较轻的。
解析:根据题意可把15袋花生分成三组〔5，5，5〕，选取其中两组用天平称量。假设平衡，那么较轻的那袋就在未取的5袋中；假设不平衡，教师应引导学生找出轻的一组继续进展合理分组，并用天平称量来判断，由此可知至少3次能找出轻的那一袋。第〔2〕题从15袋中任取14袋分成两组〔7，7〕，用天平称量。假设平衡，那么未取的那袋就是轻的，故称一次有可能找出轻的那一袋。
5．一箱糖果里有10袋，其中9袋质量一样，另有一袋质量缺乏，要轻一些，完成下列图并分析，如果用天平至少称几次能保证找出质量缺乏的那袋糖果？

考察目的：用天平平衡的原理解决找次品的问题的能力。
答案：如下列图所示。

答：用天平至少称3次能保证找出质量缺乏的那袋糖果。
解析:解答时把10分成两组〔5，5〕，分别放在天平两端，找出轻的一组，再把轻的一组分成三组〔2，2，1〕，把2袋一组的分别放在天平两端称量。假设天平平衡，那么剩下的一袋就是质量缺乏的糖果；假设天平不平衡，可用图示方法继续给轻的一组分组，并用天平判断出哪一袋是质量缺乏的糖果。