1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,函数极限,第1页,自变量改变过程六种形式,:,依据自变量这种改变过程，本节主要研究以下两种情况：,二、当自变量,x,绝对值无限增大时，,f,(,x,),改变趋势，,一、当自变量,x,无限地靠近于,x,0,时，,f,(,x,),改变趋势,第2页,一、自变量趋向有限值时函数极限,这个函数虽在,x,=1,处无定义，但从它图形上可见，当点从,1,左侧或右侧无限地靠近于,1,时，,f,(,x,),值无限地靠近于,4,，我们称常数,4,为,f,(,x,),当,x,1,时,f,(,x,),极限。,1,x,y,o
2、4,第3页,怎样用数学语言刻划,问题,无限靠近,于确定值,A,？,第4页,1.,定义,定义,1,设函数,有,定义,.,记作,或,恒有,在点,x,0,某去心邻域内,第5页,注：,(1),定义习惯上称为极限,定义其三个要素：,正数,，,正数,，,不等式,(3),与任意给定正数,相关。,(2),有没有极限，与,在点 是否有定义无关,第6页,必存在,x,0,去心邻域,对于此邻域内,x,对应函数图形位于这一带形区域内,.,作出带形区域,第7页,普通说来,应从不等式,出发,推导出 应小于怎,这个正数就是要找与 相对应,这个推导经常是困难,.,不过,注意到我们不需要找最大,所以,适当放大些,式子,变成易于
3、解出,找到一个需要,找到,就证实完成,.,可把,样正数,第8页,证,这是证实吗？,非常非常严格！,例,1,第9页,例,2,证实,证,于是,恒有,第10页,例,3,分析：,函数在点,x,=1,处没有定义,.,但这与函数在该点是否有极限并无关系,证,第11页,例,4,证,min,可用,确保,第12页,练习,证实,证,因为,要使,解出,只要,可取,有,解不等式,第13页,3.,左、右极限,(,单侧极限,),比如,两种情况分别讨论,!,记作,记作,第14页,左极限,右极限,使得,时,或,使得,时,或,记作,记作,第15页,注,且,此性质惯用于判断,分段函数,当,x,趋近于,分段点,时极限,.,第16页
4、1),左、右极限均存在,且相等；,(2),左、右极限均存在,但不相等；,(3),左、右极限中最少有一个不存在,.,找找例题！,函数在点,x,0,处左、右极限可能出现,以下三种情况之一：,第17页,例,5.,设函数,讨论,时,极限是否存在,.,解,:,利用定理,3.,因为,显然,所以,不存在,.,第18页,练习,y=f,(,x,),x,O,y,1,1,在,x,=1,处左、右极限,.,解,第19页,二、自变量趋向无穷大时函数极限,第20页,第21页,第22页,第23页,第24页,第25页,第26页,返回,第27页,经过上面演示试验观察,:,怎样用准确数学数学语言刻划函数“无限靠近”,.,第28
5、页,第29页,2.,另两种情形,A,x,f,x,=,-,),(,lim,第30页,解,显然有,可见,和,即使都存在,但它们不相等,.,故,不存在,.,例,5,讨论极限 是否存在,?,第31页,图形,完全落在,:,图形,水平,渐近线,(horizontal asymptote).,则直线,第32页,例,6,证,成立,.,由极限定义可知,:,第33页,例,7,证,要使,成立,.,只要,有,解不等式,第34页,练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,第35页,三、函数极限性质,函数极限与数列极限相比,有类似性质,定理,1(,极限唯一性,),有极限,若在自变量某种改变,趋势下,则极限值必唯一,.
6、定理,2(,局部有界性,),f,(,x,),有极限,则,f,(,x,),在 上有界,;,f,(,x,),有,极限,且证实方法也类似,.,第36页,定理,3(,局部保号性,),证,(1),设,A0,取正数,即,有,自己证,第37页,只要取,便可得更强结论,:,证,(1),也即,(2),自己证,.,定理,3(1),证实中,不论,定理,第38页,证,假设上述论断不成立,那么由,(1),就有,在该邻域内,这与,所以,类似可证 情形,.,假设,矛盾,若定理,3(2),中条件改为,必有,不能,!,如,思考,是否,定理,3,定理,3,第39页,1.,函数极限,或,定义,;,2.,函数极限性质,局部保号性,;,四、小结,唯一性,;,局部有界性,;,3.,函数左右极限判定极限存在性,.,第40页,
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