数学：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》测试(1)(新人教A版必修2).doc

2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1、二面角指的是(    )
A.两个平面相交所组成的角
B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形
C.一条直线出发的两个半平面组成的图形
D.两个平面所夹的不大于90°的角
2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则(    )
A.α∥β且γ∥ω
B.α∥β或γ∥ω
C.这四个平面中可能任意两个都不平行
D.这四个平面中至多有一对平面平行
3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中真命题的个数是(    )
A.0               B.1                 
C.2                 D.3
4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(    )

图2-3-15
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两都垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BC.又
∵BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.
∵AD平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是……(    )

图2-3-16
A.1           B.            C.            D.
参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,
∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.
∵AD=,DE=BC=,
∴AE=.
答案:C
主要考察知识点:空间直线和平面
6、下列命题正确的是(    )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.垂直于同一条直线的两直线垂直
C.垂直于同一个平面的两直线平行
D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.
答案:C
主要考察知识点:空间直线和平面
7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(    )
A.垂直且相交                               B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交                             D.不垂直也不相交
参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.
∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.
∴BD⊥平面AEC.
又AC面AEC，∴BD⊥AC.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　　）
A.30°             B.45°             C60°             D.120°
参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若α∥β,,则l∥β;
②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；
③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;
④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.
其中正确命题的序号是(　　)
A.①③④              B.①②③        C.①③           D.②④
参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误由线面垂直的判定定理知④错误.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
10、下列说法中正确的是(　　)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
A.①②③              B.①②③④           C.②③           D.②③④
参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.
答案：A
主要考察知识点:空间直线和平面

二、填空题
1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.
参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.

∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
由m⊥n,显然PA⊥PB，
∴∠ACB=90°,∴α⊥β.
由①③④②成立.
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.
答案：②③④①或①③④②.
主要考察知识点:空间直线和平面
2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.
参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.

∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
由m⊥n,显然PA⊥PB，
∴∠ACB=90°,∴α⊥β.
由①③④②成立.
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.
答案：②③④①或①③④②.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.
请把正确命题的序号填在横线上:______________.

参考答案与解析:解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.
②∵PA⊥PB，PA⊥PC,
∴PA⊥面PBC.
∴PA⊥BC.
又PH⊥面ABC，
∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.
∴AH⊥BC.
同理BH⊥AC，∴H为垂心.
③∵H为AC中点，∠ABC=90°,
∴AH=BH=CH.
又PH⊥面ABC，
由勾股定理知PA=PB=PC.
④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.
答案：①②③④
主要考察知识点:空间直线和平面
4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.

参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，
设PM=PN=a,
又∠BPM=∠BPN=45°,
∴△OPM≌△OPN.
∴ON⊥AB.
∴∠MON为所求二面角的平面角.
连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.
又,
∴MO2+NO2=MN2.
∴∠MON=90°.
答案：90°
主要考察知识点:空间直线和平面

三、解答题
1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.

参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.
证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,
∴EF⊥平面A1C1D.                                 ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又A1B1C1D1为正方体,
∴A1C1⊥B1D1.
∵BB1∩B1D1＝B1,
∴A1C1⊥平面BB1D1D.
而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.
同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,
∴BD1⊥平面A1C1D.                                ②
由①②可知EF∥BD1.
主要考察知识点:空间直线和平面
2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？
参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.

图2-3-22
如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.
现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.
在Rt△BAD中,sinα=.①
在Rt△BCD中,sinβ=.②
比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,
所以＞.
又因为α、β都是锐角,所以α＞β.
因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.

参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，

∵AB=AC，
∴AE⊥BC.
又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，
∴DB=DC.
∴DE⊥BC.
∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角.
又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，
∴.
又△ABD≌△BDC，
∴AD=BC=2.
在Rt△DEB中，，BE=1，
∴,
同理.
在△AED中，∵AE=DE=,AD=2,
∴AD2=AE2+DE2.
∴∠AED=90°.
∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.
主要考察知识点:空间直线和平面