高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布.doc

专题十一 概率与统计
第三十六讲二项分布及其应用、正态分布
一、选择题
1．（2015湖北）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是

A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45
4.（2011湖北）已知随机变量服从正态分布，且，则

A． B． C． D．
二、填空题
5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则= ．
6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是 ．
7．（2015广东）已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．

三、解答题
9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得，
，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0．01)．
附：若随机变量服从正态分布，则=0．997 4，，．
10．（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4

保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4

概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
11．（2015湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．

12．（2015湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
13．（2015新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
14．（2014山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是．假设各局比赛结果互相独立．
（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率
（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分的分布列及数学期望．
15．（2014陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
16．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，3644，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30 ]
3
0.12
(30,35 ]
5
0.20
(35,40 ]
8
0.32
(40,45 ]

(45,50 ]

（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率．
17．（2011大纲）根据以往统计资料某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求的期望．
专题十一 概率与统计
第三十六讲二项分布及其应用、正态分布
答案部分
1．C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误．又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误．对任意正数，，，C正确，D错误．
2．B【解析】．
3．A【解析】根据条件概率公式，可得所求概率为．
x
y
O
4
2
4．C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，
函数关于直线对称，所以，并且

则

所以选C.
5．1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得 
6．【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，
其中
在1次试验中成功的概率为，
所以在2次试验中成功次数的概率为，，．
解法2由题意知，实验成功的概率，故，所以．
7．【解析】由，得．
8．【解析】 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率， 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
9．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0．0026，故．因此
．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，，得的估计值为，的估计值为
，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9．22，剩下数据的平均数为
，
因此的估计值为10．02．
，
剔除之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为
，
因此的估计值为．
10．【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．

平均保费

，
∴平均保费与基本保费比值为．
11．【解析】（Ⅰ）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，=｛顾客抽奖1次能获奖｝．
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，
且=，=+，C=+．
因()==，()==，
所以()=()=()()==，
()=(+)=()+()
=() (1-())+(1-())()=(1-)+(1-)=，
故所求概率为(C)= (+)=()+()=+=.
（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以．于是 (=0)==，
(=1)==，
(=2)==，(=3)== ．
故的分布列为

0
1
2
3

的数学期望为 ()=3=．
12．【解析】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
（1）目标函数为．
第10题解答图1
第10题解答图2
第10题解答图3

当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为

8160
10200
10800

0.3
0.5
0.2
因此，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
．
13．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；
表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；
表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．
则与独立，与独立，与互斥，．

．
由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，．
故，，，，
故．
14．【解析】：（1）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，
故，
，

所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；
（2）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以

由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得
,
,
,

故的分布列为

0
1
2
3

所以．
15．【解析】（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元／kg”．由题设知，．
因为利润=产量市场价格成本，所以所有可能的取值为
，
，
,
,
,
所以的分布列为

4000
2000
800

0.3
0.5
0.2
（Ⅱ）设表示事件“第季利润不少于2000元”，
由题意知相互独立，由（1）知，

3季利润均不少于2000元的概率为

3季中有2季利润不少于2000元的概率为

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为

16．【解析】：（1），；
（2）样本频率分布直方图为
日加工零件数
频率
组距
0.016
0.024
0.04
0.056
0.064
25
30
35
40
45
50
0

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0．2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0．5904．
17．【解析】记表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；
表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；
表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
（Ⅰ）, ,

（Ⅱ）,
,即服从二项分布,
所以期望．