初中三角函数知识点总结及中考真题讲解.doc

锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦

(∠A为锐角)

余弦

(∠A为锐角)
正切

(∠A为锐角)

(倒数)

余切

(∠A为锐角)

对边
邻边
斜边
A
C
B

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°

0

1

1

0

0

1

-

-

1

0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
9、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

要点一：锐角三角函数的基本概念
一、选择题
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【解析】选C. .
2.（2008·威海中考）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A．　　 B． C． D．
【解析】选D. ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得
3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【解析】选A.连接CD,由的半径为.得AD=3. =

4.（2009·湖州中考）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）

A．　　B．　 C．　 　 　D．

【解析】选D在直角三角形ABC中，，，所以AC＝；所以，，；，，；
5.（2008·温州中考）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．

【解析】选C.由是斜边上的中线，得AB=2CD=4.∴

6.（2007·泰安中考）如图，在中，，于，若，，则的值为（ ）
A
C
B
D

（A） （B） （C） （D）
答案：B
二、填空题
7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，，则AB的长是 cm．
【解析】解得AB=10cm
答案：10
8.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．

【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以；
答案：；

9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积= cm2．

【解析】解得DE=6cm.∴cm2.
答案：60
三、解答题
10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．
A
O
B

E
C
D

（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），
∴ED ==12（m）．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，
∴OD =13（m）．
（2）OE== （m）
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．

11.（2009·綦江中考）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
D
A
B
C
E
F

【解析】（1）在矩形中，

．
（2）由（1）知

在直角中，

在直角中，

．

12.（2008·宁夏中考）如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．

【解析】在中, ∠=90°, =15
==, ∴

∴周长为36,
13.（2008·肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sinA和tanA的值.
【解析】在Rt △ABC中，c=5，a=3．
∴
∴
．

14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，，

(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．

要点二、特殊角的三角函数值
一、选择题
1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C

2.（2009·长春中考）．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
答案：C
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）
A．8米 B．米 C．米 D．米
答案：C
4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且，则等于（ ）
Ａ．　　 Ｂ．　 　Ｃ．　 　Ｄ．
答案：Ｃ
5.（2008·毕节中考） A（cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ）
A． B． C． 　D．
答案：A
6.（2007·襄樊中考）计算：等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：C

二、填空题
7. （2009·荆门中考）=______．
【解析】

答案：
8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是 米．（结果保留根号）．

答案：
9.（2008·江西中考）计算：（1） 　　 ．
【解析】
答案：
10.（2007·济宁中考）计算的值是 。
答案：0
三、解答题
11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°
【解析】3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°

12.（2009·崇左中考）计算：．
【解析】原式==0．
13.（2008·义乌中考）计算：
【解析】 =2.5

要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
一、选择题
1.2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（　　）

A．8米 B．米 C．米 D．米
【解析】选C. 梯子的长至少为（米）.

2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）

A． B．4 C． D．
答案：A
3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. C. D.
α
5米
A
B

答案：B
4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m

【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则，则h＝3m，所以坡面距离为5m；

5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．
A．25 B． C． D．

【解析】选B 过点B作BE⊥AD 于点E，在直角三角形BAE中，
则在直角三角形BCE中，则。
所以AE-CE=AC=50,即解得BE＝；
二、填空题
6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 m．

【解析】因为sin∠ACB =,所以AC=10
答案：10.
7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.
答案：1:2

8. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则海轮行驶的路程为 _____________海里（结果保留根号）．

【解析】∵,

∴
答案：
9 (2009·安徽中考) 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．

【解析】当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为；
当梯子与地面夹角为时，梯子顶端高为，
所以梯子顶端升高了
答案：；

10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB = 米.

答案：4
11.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）

答案：1.28

三、解答题
12.（2009·庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°， ∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（，结果精确到整数）

【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C

∵ ∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC．
设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，
∴ AC=BC×tan60°=x．
∵ OC+CA=OA，∴x+x=60，
∴ x=≈22（cm）．
即点B到OA 边的距离是22 cm．

13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角为，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）

【解析】在直角三角形中，，米
MP=10·tan300 =10×≈5.773米
因为米
所以MN=1.5+5.77=7.27米
答：路灯的高度为7.27米

14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

【解析】如图，过B点作BD⊥AC于D

∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝tan30°＝
在Rt△BDC中，BD＝DC＝x BC＝
又AC＝5×2＝10 ∴， 得，
∴（海里）
答：灯塔B距C处海里

15.（2009·常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，，结果保留整数）．

【解析】设山高BC =，则AB=，
，得
，
解得米

16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
(参考数据： )

【解析】（1）在中，

中

改善后的滑滑板会加长2.07m．
（2）这样改造能行．
因为，而

因为教育科研是教育教学改革和发展的第一生产力。“科研兴数，科研兴校”，我时刻铭记心间。因而在自己的实际工作中自觉或不自觉地就进行了教育科学研究，下面就将自己在本学年中教育科研工作方面的情况总结27