《杨辉三角与二项式定理》课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,二项式定理,1.3.2,“,杨辉三角”与二项式 系数的性质,复习巩固,1.,二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？,2.,二项展开式的通项是什么？,3.,组合数有哪两个基本性质？,复习巩固,4.,二项式系数是二项展开式中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的作用,.,提出问题,杨辉三角与,二项式系数的性质,(,a,b,),1,，,(,a,b,),2,，,(,a,b,),3,，,(,a,b,)4,，,(,a,b,),5,，,(,a,b,),6,的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：,6,5,4,3,2,1,二项式系数,n,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6,15,15,20,6,问题探究,观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？,6,5,4,3,2,1,二项式系数,n,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6,15,15,20,6,具有对称性,将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？,(,a,b,),1,1 1,(,ab,),2,1 2 1,(,a,b,),3,1 3 3 1,(,a,b,),4,1 4 6 4 1,(,a,b,),5,1 5 10 10,5 1,(,a,b,),6,1 6 15 20 15 6 1,（,1,）每行两端的数都是,1,；（,2,）与两端等距离的项的系数相等；（,3,）在相邻的两行中，除,1,以外的每一个数都等于它,“,肩上,”,两个数的和，等等,.,上述数表是我国南宋数学家,杨辉,在,1261,年所著的,详解九章算法,一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为,杨辉三角,，杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？,(,a,b,)1,1 1,(,a,b,),2,1 2 1,(,a,b,),3,1 3 3 1,(,a,b,),4,1 4 6 4 1,(,a,b,),5,1 5 10 10,5 1,(,a,b,),6,1 6 15 20 15 6 1,利用杨辉三角，,(,a,b,),7,的展开式中各项的二项式系数分别是什么？,(,a,b,),1,1 1,(,a,b,),2,1 2 1,(,a,b,),3,1 3 3 1,(,a,b,),4,1 4 6 4 1,(,a,b,),5,1 5 10 10,5 1,(,a,b,),6,1 6 15 20 15 6 1,1,35,35,21,21,7,7,1,对给定的正整数,n,，设函数 ，,r0,，,1,，,2,，,，,n,，,当,n,6,时，函数,f,(,r,),的图象是什么？,r,f(r,),O,1,2,3,4,5,6,5,10,15,20,问题探究,一般地，函数 ，,r0,，,1,，,2,，,，,n,的图象是什么？它具有怎样的对称性？,n,1,个孤立的点，关于直线 对称,问题探究,在二项式系数,中，哪些二项式系数是相等的？,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,.,问题探究,相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定 与 的大小？,问题探究,通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？,二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值,.,问题探究,当,n,分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？,当,n,为偶数时，第 项的二项式系数 为最大；,问题探究,当,n,分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？,当,n,为奇数时，第 的二项式系数,和第 项的二项式系数 相等，且,同时为最大,.,问题探究,填空：,（,1,）,(x,y),11,的展开式中系数最大的项第,项，系数最小的项第,项；,（,2,）,，,理论迁移,7,6,1023,512,课堂小结,1.,杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质,.,杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究,.,2.,二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数,.,3.,令,x,1,，可求得,(,a,b,x,),n,的展开式中各项的系数之和，当,x,取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法,.,作业：,P35,练习：,1.,P37,习题,1.3A,组：,6,，,7,，,8.,