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算法大全（C，C++）
一、 数论算法

1．求两数的最大公约数
function gcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod b);
end ;

2．求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer;
begin
if a0 do inc(lcm,a);
end;

3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数
function prime (n: integer): Boolean;
var I: integer;
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=false; exit;
end;
prime:=true;
end;

B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
procedure getprime;
var
i,j:longint;
p:array[1..50000] of boolean;
begin
fillcharp,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i<50000 do begin
if p[i] then begin
j:=i*2;
while j<50000 do begin
p[j]:=false;
inc(j,i);
end;
end;
inc(i);
end;
l:=0;
for i:=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc(l);pr[l]:=i;
end;
end;{getprime}

function prime(x:longint):integer;
var i:integer;
begin
prime:=false;
for i:=1 to l do
if pr[i]>=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
end;{prime}

二、图论算法

1．最小生成树

A.Prim算法：

procedure prim(v0:integer);
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
end;
for i:=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
end;
lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}

for j:=1 to n do
if cost[k,j]
if i<=n then find:=i else find:=0;
end;

procedure kruskal;
var
tot,i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
while p>0 do begin
i:=finde[q].v1);j:=find(e[q].v2);
if i<>j then begin
inc(tot,e[q].len);
vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
dec(p);
end;
inc(q);
end;
writeln(tot);
end;

2.最短路径

A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:array[1..maxn] of boolean;

procedure bhf;
var
best,best_j:integer;
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
repeat
best:=0;
for i:=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j] begin
best:=b[i]+a[i,j]; best_j:=j;
end;
if best>0 then begin
b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
end;
until best=0;
end;{bhf}

B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedure floyed;
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
for k:=1 to n do {枚举中间结点}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]n;
procedure dijkstra(v0:integer);
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i];
if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
end;
mark[v0]:=true;
repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and d[i]0 then begin
mark[u]:=true;
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]gin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
End;

4．无向图的连通分量

A.深度优先
procedure dfs ( now,color: integer);
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
c[i]:=color;
dfs(I,color);
end;
end;

B 宽度优先（种子染色法）

5．关键路径

几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由表示，则Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b. 从汇点起topsort,求Vl;
c. 算Ee 和 El;

6．拓扑排序

找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.

7.回路问题

Euler回路(DFS)
定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）

Hamilton回路
定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。

一笔画
充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。

9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法

x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。
procedure bellman-ford
begin
for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;
d[0]:=0;
for I:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do {枚举每一条边}
if d[x[j]]+t[j]
for I:=1 to m do
if d[x[j]]+t[j]可转化为一次)：

A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法
procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品，剩余空间为v}
var i,j:integer;
begin
if v=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;

l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界：f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;

B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }

C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);
a:=c;
end;

2．可重复背包

A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])

B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t>f[i] Then f[i]:=t;
End;
Writeln(f[M]);
End.

C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
procedure try(dep:integer);
var i,j:integer;
begin
cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
if now>n then exit; {剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
cal;
if now=n then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i;
try(dep+1);
xs[dep]:=0;
end;
end;

思路二，递归搜索效率较高
procedure try(dep,rest:integer);
var i,j,x:integer;
begin
if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin
if rest=0 then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to rest div pr[dep] do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
end;
{main: try(1,n); }

思路三：可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品，背包容量为n，求放法总数。
转移方程：

Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]);
a:=c;
end;
{main}
begin
read(now); {读入第一个物品的重量}
i:=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数}
while i<=n do begin
a[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
for i:=2 to v do
begin
read(now);
update; {动态更新}
end;
writeln(a[n]);

四、排序算法

A.快速排序：

procedure qsort(l,r:integer);
var i,j,mid:integer;
begin
i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i]mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap(a[i],a[j]);
inc(i);dec(j); {继续找}
end;
until i>j;
if lj); {若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间}
if id;{inset_sort}

C.选择排序：
procedure sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]);
end;

D. 冒泡排序
procedure bubble_sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=n downto i+1 do
if a[j] {每次比较相邻元素的关系}
end;

E.堆排序：
procedure sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:integer;
begin
a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
while k<=m do begin
if (km+1;
end;
a[i]:=a[0]; {将根放在合适的位置}
end;

procedure heapsort;
var
j:integer;
begin
for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);
for j:=n downto 2 do begin
swap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
end;
end;

F. 归并排序
{a为序列表，tmp为辅助数组}
procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
var I,j,t:integer;
tmp:listtype;
begin
t:=p;i:=p;j:=q+1;{t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针}
while (t<=r) do begin
if (i<=q){左序列有剩余} and ((j>r) or (a[i]<=a[j])) {满足取左边序列当前元素的要求}
then begin
tmp[t]:=a[i]; inc(i);
end
else begin
tmp[t]:=a[j];inc(j);
end;
inc(t);
end;
for i:p to r do a[i]:=tmp[i];
end;{merge}

procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合并排序a[p..r]}
var q:integer;
begin
if p<>r then begin
q:=(p+r-1) div 2;
merge_sort (a,p,q);
merge_sort (a,q+1,r);
merge (a,p,q,r);
end;
end;
{main}
begin
merge_sort(a,1,n);
end.

G.基数排序
思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序

五、高精度计算

高精度数的定义：
type
hp=array[1..maxlen] of integer;

1．高精度加法

procedure plus ( a,b:hp; var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]+b[i]);
if c[i]>10 then begin dec(c[i],10); inc(c[i+1]); end; {进位}
end;
if c[len+1]>0 then inc(len);
c[0]:=len;
end;{plus}

2．高精度减法
procedure substract(a,b:hp;var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]-b[i]);
if c[i]<0 then begin inc(c[i],10);dec(c[i+1]); end;
while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len);
c[0]:=len;
end;

3．高精度乘以低精度

procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=a[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]*b);
inc(c[i+1],(a[i]*b) div 10);
c[i]:=c[i] mod 10;
end;
inc(len);
while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位}
c[len+1]:=c[len] div 10;
c[len]:=c[len] mod 10;
inc(len);
end;
while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整len}
c[0]:=len;
end;{multiply}

4．高精度乘以高精度

procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp}
var i,j,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to a[0] do
for j:=1 to b[0] do begin
inc(c[i+j-1],a[i]*b[j]);
inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10);
c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
end;
len:=a[0]+b[0]+1;
while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len);
c[0]:=len;
end;

5．高精度除以低精度

procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint);
{c:=a div b; d:= a mod b}
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=a[0]; d:=0;
for i:=len downto 1 do begin
d:=d*10+a[i];
c[i]:=d div b;
d:=d mod b;
end;
while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len);
c[0]:=len;
end;

6．高精度除以高精度

procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp);
var
i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
fillchar(d,sizeof(d),0);
len:=a[0];d[0]:=1;
for i:=len downto 1 do begin
multiply(d,10,d);
d[1]:=a[i];
while(compare(d,b)>=0) do {即d>=b}
begin
Subtract(d,b,d);
inc(c[i]);
end;
end;
while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len);
c.len:=len;
end;

六、 树的遍历

1．已知前序中序求后序

procedure Solve(pre,mid:string);
var i:integer;
begin
if (pre='''') or (mid='''') then exit;
i:=pos(pre[1],mid);
solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1));
solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i));
post:=post+pre[1]; {加上根，递归结束后post即为后序遍历}
end;

2．已知中序后序求前序

procedure Solve(mid,post:string);
var i:integer;
begin
if (mid='''') or (post='''') then exit;
i:=pos(post[length(post)],mid);
pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，递归结束后pre即为前序遍历}
solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1));
solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i));
end;

3．已知前序后序求中序的一种

function ok(s1,s2:string):boolean;
var i,l:integer; p:boolean;
begin
ok:=true;
l:=length(s1);
for i:=1 to l do begin
p:=false;
for j:=1 to l do
if s1[i]=s2[j] then p:=true;
if not p then begin ok:=false;exit;end;
end;
end;

procedure solve(pre,post:string);
var i:integer;
begin
if (pre='''') or (post='''') then exit;
i:=0;
repeat
inc(i);
until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
midstr:=midstr+pre[1];
solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1));
end;

七 进制转换

1.任意正整数进制间的互化

除n取余

2.实数任意正整数进制间的互化
乘n取整

3.负数进制：
设计一个程序，读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负 进制下的数：-R∈{-2，-3，-4,....-20}

八 全排列与组合的生成

1.排列的生成：（1..n）
procedure solve(dep:integer);
var
i:integer;
begin
if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if not used[i] then begin
s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
solve(dep+1);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
end;
end;

2.组合的生成(1..n中选取k个数的所有方案)
procedure solve(dep,pre:integer);
var
i:integer;
begin
if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if (not used[i]) and (i>pre) then begin
s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
solve(dep+1,i);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
end;
end;

九.查找算法

1.折半查找

function binsearch(k:keytype):integer;
var low,hig,mid:integer;
begin
low:=1;hig:=n;
mid:=(low+hig) div 2;
while (a[mid].key<>k) and (low<=hig) do begin
if a[mid].key>k then hig:=mid-1
else low:=mid+1;
mid:=(low+hig) div 2;
end;
if low>hig then mid:=0;
binsearch:=mid;
end;

2.树形查找

二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。
查找
function treesrh(k:keytype):pointer;
var q:pointer;
begin
q:=root;
while (q<>nil) and (q^.key<>k) do
if k