机械原理基本杆组分析法.doc

机械原理
机 构 运 动 分 析 基 本 杆 组 法

上
机
指
导
书

Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计

随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。

1. 单杆运动分析子程序
　　单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某基点P1的运动参数x1，y1，x’ 1，y’ 1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θθ’ ，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。
　　显然，由图1可得下列关系式：
x2=x1+lcosθ， y2=y1+lsinθ
x’ 2=x’ 1-lsinθθ’ ， y’ 2=y’ 1+lcosθθ’
x’’2=x’’1-lsinθθ’’-lcosθθ’ 2, y’’2=y’’1+lcosθθ’’-lsinθθ’ 2
x3=x1+rcos(θ+α)， y3=y1+rsin(θ+α)
x’ 3=x’ 1-(y3-y1)θ’ ， y’ 3=y’ 1+(x3-x1)θ’
x’’3=x’’1-(y3-y1)θ’’-(x3-x1)θ’ 2, y’’3=y’’1+(x3-x1)θ’’-(y3-y1)θ’ 2
由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。 图1
　　2. RRR杆组运动分析子程序
图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加速度分量为x1，x’ 1，x’’1，y1，y’ 1，y’’1，x2，x’ 2，x’’2，y2，y’ 2，y’’2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1，θ’ 1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。
1) 位置分析
将已知P1P2两点的坐标差表示为：
u=x2-x1，v=y2-y1 (1)
杆l1及l2投影方程式为：
l1cosθ1-l2cosθ2=u
l1sinθ1-l2sinθ2=v (2)
消去θ1得：vsinθ2+ucosθ2+c=0 (3)
其中：c=(u2+v2+l22-l12)/2l2
解式(3)可得：
tan(θ2/2)=(v±)/(u-c) (4)

式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。 图2

由式(2)可得：
tanθ1=(v+l2sinθ2)/(u+l2cosθ2) (5)
2) 速度分析
对式(2)求导一次得：A1θ’1+A3θ’2=u’，A2θ’1+A4θ’2=v’ 　　　 (6)
其中：A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2
解式(6)可得：ω1=θ’1=(A4u’-A3v’)/D，ω2=θ’2=(A1v’-A2u’)/D 　　　 (7)
其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(θ1-θ2)
3) 加速度分析
对式(6)求导一次得：A1θ’’1+A3θ’’2=E，A2θ’’1+A4θ’’2=F 　　　 (8)
其中：E=u’’+A2θ’12+A4θ’22，F=v’’-A1θ’12-A3θ’22
解式(8)可得：α1=θ’’1=(A4E-A3F)/D，α2=θ’’2=(A1F-A2E)/D 　　　 (9)
由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。

3. RRP杆组运动分析子程序
图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2）， P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ’1，l’’2，θ’’1。

1) 位置分析
由于θ2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得：
l22+2(ucosθ2+vsinθ2)l2+(u2+v2-l12)=0
由此解得：
l2=-(ucosθ2+vsinθ2)±
(10)
式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（
图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段
之内（图3中m=-1的位置）。
　θ1由式(5)而定。

2) 速度分析
　　对式(2)求导一次得： 图3
A1θ’1+A5l’2=G，A2θ’1+A6l’2 =H (11)
其中：A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ’2，H=v’-l2A5θ’2
　　解式(11)可得：ω1=θ’1=(A6G-A5H)/D8，l’2=(A1H-A2G)/D8 　 (12)
其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(θ1-θ2)
3) 加速度分析
对式(11)求导一次得：A1θ’’1+A5 l’’2=E1，A2θ’’1+A6 l’’2=F1 　(13)
其中：E1=u’’+A2θ’12+2A6l’2θ’2+l2A5θ’22+l2A6θ’’2
F1=v’’-A1θ’12-2A5l’2θ’2+l2A6θ’22-l2A5θ’’2
解式(13)可得：α1=θ’’1=(A6E1-A5F1)/D8，l’’2=(A1F1-A2E1)/D8 　 (14)
由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。

4. RPR杆组运动分析子程序
图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离， P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ’1，θ’2，l’’2，θ’’1，θ’’2。
1) 位置分析
θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15)
式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两
位置。
　　l1与l2有如下关系：
(16)
由式(4)和式(16)可得：
tan(θ2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2) (17)

2) 速度分析
由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对
式(2)求导一次得：
A7θ’i+A5l’2=u’，A8θ’i+A6l’2=v’ (18)
其中：A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2
A8= (l1-w)cosθ1-l2cosθ2 图4
解式(18)可得：
ωi=θi=(A6u’ -A5v’)/(-l2)，l’2=(A7v’ -A8u’)/(-12) 　(19)

3) 加速度分析
对式(18)求导一次得：A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2 　(20)
其中：E2=u’’+A8θ’i2+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i2-2A5l’2θ’i
解式(20)可得：αi=θ’’i=(A6E2-A5F2)/(-l2)，l’’2=(A7F2-A8E2)/(-l2) 　(21)
由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。 m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。
5．PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。
1） 位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2
y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2
整理得：
l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1
l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1 (22)
其中：E1=u- A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，
A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2 。
由于θ1 ，θ2均已知，由此解得：
l1 F1 cosθ2 - E1sinθ2） / D8
l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1） / D8 (23)
其中：D8 = A2A3 - A1A4 = sin（θ1-θ2)
P3点的位置为：
x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1
y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24)
2）速度分析
对式（22）求导一次，整理得：
l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E2 图5
l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F2 (25)
其中：E2 =u’ + A6θ’1 – A8θ’2 ，F2 = v’ - A5θ’1 – A7θ’2 ，A5 = l1cosθ1 + h1sinθ1 ，
A6 = l1sinθ1 - h1cosθ1 ，A7 = l2cosθ2 - h2sinθ2 ，A8 = l2sinθ2+ h2cosθ2 。
由（25）解得：
l’1=（F2 cosθ2 - E2sinθ2）/ D8

l’2=（F2 cosθ1 - E2sinθ1) / D8 (26)
P3点的速度为对式（24）求导得：
x’3 = x’1 + l’1cosθ1 + A6θ’1
y’3 = y’1 + l’1sinθ1 - A5θ’1 (27)
3） 加速度分析
对式（25）求导一次，整理得：
l’’1cosθ1 - l’’2cosθ2 = E3
l’’1sinθ1 - l’’2sinθ2 = F3 (28)
其中：E3 = u’’ + 2A3l’1θ’1 + A5θ’ 12 + A6θ’’1–2A4l’2θ’2–A7θ’ 22 – A8θ’’2 ，
F3 = v’’ - 2A1l’1θ’1 + A6θ’ 12 - A5θ’’1 +2A2l’2θ’2–A8θ’ 22 + A7θ’’2 。
解（28）式得：
l’’1=（F3 cosθ2 – E3sinθ2） / D8
l’’2=（F3 cosθ1 – E3sinθ1） / D8 (29)
P3点的加速度为对式（27）求导得：
x’’3 = x’’1 + A1l’’1 - 2A3l’1θ’1 - A5θ’ 12 - A6θ’’1
y’’3 = y’’1 + A3l’’1 - 2A1l’1θ’1 - A6θ’ 12 - A5θ’’1 (30)
由上述式子可设计出 PRP杆组运动分析子程序（见程序单）。

6．RPP杆组运动分析子程序
图6所示RPPⅡ级杆组中，已知导路1参考点P1和外转动副P2的运动，h为外副P2至导路2的垂直距离，导路1的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1）已知，导路1与导路2间的夹角为d。要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及导路中心P3，P4点的运动（x3，x4，x’3，x’4，x’’3，x’’4，y3，y4，y’3，y’4，y’’3， y’’4）。
1）位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+l2cos（θ1+d）= x2+hsin（θ1+d）
y1+l1sinθ1+l2sin（θ1+d）= y2-hcos（θ1+d）
整理得：
l1cosθ1 + l2cos（θ1+d）= E1
l1sinθ1 + l2sin（θ1+d）= F1 (31)
其中：E1 = u + A1h，F1 = v –A2h，
A1 =sin（θ1+d），A2 =cos（θ1+d）。
由于θ1 ，d 均已知，由此解得：
l1 =（E1 sin（θ1+d）- F1 cos（θ1+d））/ D8
l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1）/ D8 (32)
其中：D8 =A1A4-A2A3=sind，A3 =sinθ1 ，A4 cosθ1 图6
P3、P4点的位置为：
x3 = x1 + l1 cosθ1 ，y3 = y1 + l1 sinθ1
x4 = x2 + h sin（θ1+d），y4 = y2 - hcos（θ1+d） (33)
当给定P1、P2点的位置，杆长h的大小和导路的方向角θ1、d 后，RPP杆组可能有两种形式，即图6中的实线和虚线两种形式，这可用h为“+”（实线机构）和h为“-”（虚线机构）来确定。
此外，从式（32）可以看出，为保证机构能够正常运动，两导路之间的夹角d 不能为0，再考虑到加工和装配等因素以及摩擦的存在，工程实际中，一般要求½sind½> 0.1。
2）速度分析
对式（31）求导一次，整理得：
l’1cosθ1 + l’2cos（θ1+d）= E2
l’1sinθ1 + l’2sin（θ1+d）= F2 (34)
其中：E2 =u’ +θ’1（A2h + A3l1 + A1l2），F2 = v’ -θ’1（A1h - A4l1 - A2l2）。
由式（34）解得：
l’1 =（E2 sin （θ1+d）- F2 cos（θ1+d））/ D8
l’2 =（F2 cosθ1- E2 sinθ1 ) / D8 (35)
P3、P4点的速度为对式（33）求导得：
x’3 = x’1 + A4l’1 – A3l1θ’1，y’3 = y’1 + A3l’1 + A4l1θ’1
x’4 = x’2 + A2 hθ’1 ，y’4 = y’2 + A1 hθ’1 (36)

3） 加速度分析
对式（34）求导一次，整理得：
l’’1cosθ1 + l’’2cosθ2 = E3
l’’1sinθ1 + l’’2sinθ2 = F3 (37)
其中：E3 = u’’ +θ’’1（A2h +A3l1 +A1l2）-θ’ 12（A1h -A4l1 - A2l2）+ 2θ’1（A3l’1 +A1l’2）
F3 = v’’ +θ’’1（A1h -A4l1 -A2l2）+θ’ 12（A2h –A3l1 – A1l2）- 2θ’1（A4l’1 +A2l’2）
解（37）式得：
l’’1 =（E3 sin （θ1+d）- F3 cos（θ1+d））/ D8
l’’2 =（F3 cosθ1 – E3sinθ1）/ D8 (38)
P3、P4点的加速度为对式（36）求导得：
x’’3 = x’’1 + A4l’’1 - A3l1θ’’1 - 2A3l’1θ’1–A4l1θ’ 12
y’’3 = y’’1 + A3l’’1 + A4l1θ’’1 + 2A4l’1θ’1–A3l1θ’ 12
x’’4 = x’’2 + A2 hθ’’1–A1 hθ’ 12
y’’4 = y’’2 + A1 hθ’’1 + A2 hθ’ 12 (39)
由上述式子可设计出 RPP杆组运动分析子程序（见程序单）。

''机械原理平面机构运动分析子程序
（含单杆，RRR，RRP，RPR，PRP， RPP杆组）

Public Const PI = 3.1415926 '定义常量

''定义全局变量
Public l As Single, l 1 As Single, l v1 As Single, l a1 As Single
Public l 2 As Single, l v2 As Single, l a2 As Single
Public r As Single, af As Single，dt As Single
Public ct As Single, cv As Single, ca As Single
Public ct1 As Single, cv1 As Single, ca1 As Single
Public ct2 As Single, cv2 As Single, ca2 As Single
Public u As Single, v As Single, u1 As Single, v1 As Single, u2 As Single, v2 As Single
Public x1 As Single, y1 As Single, xv1 As Single, yv1 As Single, xa1 As Single, ya1 As Single
Public x2 As Single, y2 As Single, xv2 As Single, yv2 As Single, xa2 As Single, ya2 As Single
Public x3 As Single, y3 As Single, xv3 As Single, yv3 As Single, xa3 As Single, ya3 As Single
Public x4 As Single, y4 As Single, xv4 As Single, yv4 As Single, xa4 As Single, ya4 As Single

''定义中间变量
Public w As Single
Public a1 As Single, a2 As Single, a3 As Single, a4 As Single
Public a5 As Single, a6 As Single, a7 As Single a8 As Single
Public c As Single, d As Single, d7 As Single, d8 As Single, h1 As Single, h2 As Single
Public e As Single, e1 As Single, e2 As Single, e3 As Single
Public f As Single, f1 As Single, f2 As Single, f3 As Single
Public g As Single, h As Single, i1 As Single
Public k As Single, k1 As Single, k2 As Single
Public n As Single, n7 As Single
Public m As Integer, kp As Integer
'''''各公共子程序

''单杆运动分析子程序
Public Sub SSL()
x2 = x1 + l * Cos(ct)
y2 = y1 + l * Sin(ct)
x3 = x1 + r * Cos(ct + af)
y3 = y1 + r * Cos(ct + af)
If (kp = 1) Then
xv2 = xv1 - l * Sin(ct) * cv
yv2 = yv1 + l * Cos(ct) * cv
xa2 = xa1 - l * Sin(ct) * ca - l * Cos(ct) * cv * cv
ya2 = ya1 + l * Cos(ct) * ca - l * Sin(ct) * cv * cv
xv3 = xv1 - (y3 - y1) * cv
yv3 = yv1 + (x3 - x1) * cv
xa3 = xa1 - (y3 - y1) * ca - (x3 - x1) * cv * cv
ya3 = ya1 + (x3 - x1) * ca - (y3 - y1) * cv * cv
End If

End Sub

''RRR杆组运动分析子程序
Public Sub RRR()
u = x2 - x1
v = y2 - y1
u1 = xv2 - xv1
v1 = yv2 - yv1
u2 = xa2 - xa1
v2 = ya2 - ya1
c = (u * u + v * v + l 2 * l 2 – l 1 * l 1) / 2 / l 2
k = v * v + u * u - c * c
If (k < 0) Then
MsgBox "DYDA CAN'T BE ASSEMBLED", vbExclamation, "机械原理"
Else
n7 = v + m * Sqr(k)
d7 = u – c
If (Abs(d7 < 0.0000001) Then
ct2 = PI
Eles
ct2 = 2 * Atn(n7 / d7)
End If
If (d7 < 0 And n7 > 0) Then
ct2 = ct2 + 2 * PI
Else
If (d7 < 0 And n7 < 0) Then
ct2 = ct2 - 2 * PI
Else
n = v + l 2 * Sin(ct2)
d = u + l 2 * Cos(ct2)
If (Abs(d < 0.0000001) Then
ct2 = PI/2
Eles
ct1 = Atn(n / d)
End If
End If
End If
If (d < 0 And n > 0) Then
ct1 = ct1 + PI
Else
If (d < 0 And n < 0) Then
c1 = ct1 - PI
End If
End If
If (kp = 1) Then
a1 = -l 1 * Sin(ct1)
a2 = l 1 * Cos(ct1)
a3 = l 2 * Sin(ct2)
a4 = -l 2 * Cos(ct2)
d = a1 * a4 - a2 * a3
If (Abs(d) < 0.000000001) Then
MsgBox "DYDA IS IN UNCERTAINTY", vbExclamation, "机械原理"
Else
cv1 = (a4 * u1 - a3 * v1) / d
cv2 = (a1 * v1 - a2 * u1) / d
e = u2 + a2 * cv1 * cv1 + a4 * cv2 * cv2
f = v2 - a1 * cv1 * cv1 - a3 * cv2 * cv2
ca1 = (a4 * e - a3 * f) / d
ca2 = (a1 * f - a2 * e) / d
End If
End If
End If
End Sub

''RRP杆组运动分析子程序
Public Sub RRP()
u = x2 - x1
v = y2 - y1
u1 = xv2 - xv1
v1 = yv2 - yv1
u2 = xa2 - xa1
v2 = ya2 - ya1
k1 = l 1 * l 1 - (u * Sin(ct2) - v * Cos(ct2)) ^ 2
If (k1 < 0) Then
MsgBox "DYDA CAN'T BE ASSEMBLED", vbExclamation, "机械原理"
Else
k2 = u * Cos(ct2) + v * Sin(ct2)
l 2 = -k2 + m * Sqr(k1)
n = v + l 2 * Sin(ct2)
d = u + l 2 * Cos(ct2)
If (Abs(d < 0.0000001) Then
ct2 = PI/2
Eles
ct1 = Atn(n / d)
End If
If (d < 0 And n > 0) Then
ct1 = ct1 + PI
Else
If (d < 0 And n < 0) Then
ct1 = ct1 PI
End If
End If
If (kp = 1) Then
a1 = -l 1 * Sin(ct1)
a2 = l 1 * Cos(ct1)
a5 = -Cos(ct2)
a6 = -Sin(ct2)
g = u1 + l 2 * a6 * cv2
h = v1 – l 2 * a5 * cv2
d8 = a1 * a6 - a2 * a5
If (Abs(d8) <= 0.000000001) Then
MsgBox "DYDA IS IN UNCERTAINTY", vbExclamation, "机械原理"
Else
cv1 = (a6 * g - a5 * h) / d8
l v2 = (a1 * h - a2 * g) / d8
e1 = u2 + a2 * cv1 * cv1 + 2 * a6 * l v2 * cv2 + l 2 * a5 * cv2 * cv2 + l 2 * a6 * ca2
f1 = v2 - a1 * cv1 * cv1 - 2 * a5 * l v2 * cv2 + l 2 * a6 * cv2 * cv2 – l 2 * a5 * ca2
ca1 = (a6 * e1 - a5 * f1) / d8
l a2 = (a1 * f1 - a2 * e1) / d8
End If
End If
End If
End Sub

''RPR杆组运动分析子程序
Public Sub RPR()
u = x2 - x1
v = y2 - y1
u1 = xv2 - xv1
v1 = yv2 - yv1
u2 = xa2 - xa1
v2 = ya2 - ya1
i1 = u * u + v * v - (l 1 - w) * (l 1 - w)
If (i1 < 0) Then
MsgBox "DAYA CAN'T BE ASSEMBLEND", vbExclamation, "机械原理"
Else
l2 = Sqr(i1)
n = v + m * (l 1 - w)
d = u - l2
If (Abs(d < 0.0000001) Then
ct2 = PI
Eles
ct2 = 2 * Atn(n / d )
End If
If (d < 0 And n > 0) Then
ct2 = ct2 + 2 * PI
Else
If (d < 0 And n < 0) Then
ct2 = ct2 - 2 * PI
End If
End If
ct1 = ct2 – m * PI / 2
If (kp = 1) Then
a5 = -Cos(ct2)
a6 = -Sin(ct2)
a7 = -(l 1 - w) * Sin(ct1) + l 2 * Sin(ct2)
a8 = (l 1 - w) * Cos(ct1) – l 2 * Cos(ct2)
If (Abs(l 2) < 0.000000001) Then
MsgBox "DYDA IS IN UNCERTAINTY", vbExclamation, "机械原理"
Else
cv1 = (a6 * u1 - a5 * v1) / (-l 2)
cv2 = cv1
l v2 = (a7 * v1 - a8 * u1) / (-l 2)
e2 = u2 + a8 * cv1 * cv1 + 2 * a6 * lv2 * cv1
f2 = v2 - a7 * cv1 * cv1 - 2 * a5 * lv2 * cv1
ca1 = (a6 * e2 - a5 * f2) / (-l 2)
ca2 = ca1
l a2 = (a7 * f2 - a8 * e2) / (-l 2)
End If
End If
End If
End Sub
''PRP杆组运动分析子程序
Public Sub PRP()
u = x2 - x1
v = y2 - y1
u1 = xv2 - xv1
v1 = yv2 - yv1
u2 = xa2 - xa1
v2 = ya2 - ya1
a1 = Cos(ct1) : a2 = Cos(ct2) : a3 = Sin(ct1) : a4 = Sin(ct2)
d8 = a2 * a3 - a1 * a4
If (Abs(d8) < 0.000000001) Then
MsgBox "DAYD IS IN UNCERTAINTY", vbExclamation, "机械原理"
Else
e1 = u - a3 * h1 - a4 * h2
f1 = v + a1 * h1 + a2 * h2
l 1 = (a2 * f1 - a4 * e1) / d8
l 2 = (a1 * f1 - a3 * e1) / d8
x3 = x1 + a1 * l 1 + a3 * h1
y3 = y1 + a3 * l 1 - a1 * h1
If (kp = 1) Then
a5 = a1 * l 1 + a3 * h1
a6 = a3 * l 1 - a1 * h1
a7 = a2 * l 2 - a4 * h2
a8 = a4 * l 2 + a2 * h2
e2 = u1 + a6 * cv1 - a8 * cv2
f2 = v1 - a5 * cv1 + a7 * cv2
l v1 = (a2 * f2 - a4 * e2) / d8
l v2 = (a1 * f2 - a3 * e2) / d8
xv3 = xv1 + a1 * l v1 - a6 * cv1
yv3 = yv1 + a3 * l v1 + a5 * cv1
e = u2 + 2 * a3 * l v1 * cv1 + a5 * cv1 * cv1 + a6 * ca1
e3 = e - 2 * a4 * l v2 * cv2 - a7 * cv2 * cv2 - a8 * ca2
f = v2 - 2 * a1 * l v1 * cv1 + a6 * cv1 * cv1 - a5 * ca1
f3 = f + 2 * a2 * l v2 * cv2 - a8 * cv2 *