宜宾市高2017级高三第一次诊断测试理科数学试题(含解析).doc

宜宾市高2017级高三第一次诊断测试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
．已知集合，，则
A． B． C． D．
．若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
．已知向量，且，则实数
A． B． C． D．
．展开式中的常数项是
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
．函数的图象大致是

A B C D
7．设曲线在处的切线与直线平行，则实数等于
第9题图
A． B． C． D．
．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第年（2012年是第一年）捐赠的现金数（万元）：

3
4
5
6

2.5
3
4
4.5
若由表中数据得到关于的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是
A．5.95万元 B．5.25万元 C．5.2万元 D．5万元
．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的
A． B． C． D．
．若人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选人，则至少有两人位于同行或同列的概率是
A． B． C． D．
．已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围
A． B． C． D．
．在平面直角坐标系中，是坐标原点，若两定点满足，，则点集所表示的区域的面积是.
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
．在等差数列中，若，，则 .
．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为，，则 .
．若函数在区间上为减函数，则满足条件的的集合是 .
三、解答题：共70分
．（12分）在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，满足.
（1）若，，求；（2）若，，求的面积.

．（12分）已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和．

．（12分）已知函数. （1）若，当时，的图象上任意一点的切线的斜率都非负，求证：≥；（2）若在时取得极值，求.

.（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为．
方案甲：从装有个红球和个白球的口袋中有放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
方案乙：从装有个红球和个白球的口袋中无放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
若某职工日步行数为步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？

．（12分）已知函数. （1）讨论在其定义域内的单调性；（2）若，且，其中,求证：.

第22题图
22．（10分）如图，在极坐标系中，以和为圆心的两圆外切于点，射线OA，OB的夹角为，分别交于O、A两点，交于O、B两点．（1）写出与的极坐标方程；（2）求面积最大值．

23．（10分）已知函数，.1），有，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，正数a、b满足，求的最小值.

宜宾市高2017级一诊考试题数学（理工类）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
D
B
A
C
A
B
A
C
D
二、填空题
13．14 14． 15． 16． 注：写成单元数集才给分
三、解答题
17．解：（1）……………1分
，………………2分
，则…………………………………3分
由正弦定理得，，即，……………………………………………5分
联立，得…………………………………………………………………6分
（2）由余弦定理可得，，即
得…………………………………………………………10分
则…………………………………………………………12分
18. 解：（1）∵，当时 ∴
当时 ，
两式相减得
∴是以首项为，公比为的等比数列
....................6分
（2）由（1）知

两式相减得

...........................................12分
19.
（I）

（II） 解得

当时，函数无极值；
20.（I），...........................................4分
（II）某职工日行步数，≈职工获得三次抽奖机会
设职工中奖次数为，在方案甲下

0
1
2
3
P

在方案乙下

0
1
2
3
P

.8 所以更喜欢方案乙...........................................12分
21. （I）
（1）；
（2）；
；...................................4分
（II）由（I）得：当时，在上单调递增，在上单调递减，
将要证的不等式转化为，考虑到此时，，，
又当时，递增。故只需证明，即证
设。
则
。
当时，，递减。所以，当时，.
所以，从而命题得证。...........................................12分
22．解：（1）；；..........................................4分
（2）由（I）得，
..........................................10分
23.解：（1）由，得恒成立 ，在时恒成立

的取值范围是......................................................................................5分
方法二：根据函数的图像，找出的最小值
（2） 由得 解得 解得
将带入，整理得
当且仅当，即时取等号
...................................................................................................10分
高2017级一诊理科数学试题 第 8页 共 8 页