中考数学复习专题特殊平行四边形.doc

2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》

评卷人
得 分

一．选择题（共12小题）
1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边分别相等 B．对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD
5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是
（　　）
A．相等 B．互相垂直
C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分
6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）
A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm
7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定
9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）

A．12 B．6 C．12.5 D．25
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足连接DF，则∠CDF为（　　）

A．80° B．70° C．65° D．60°
11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．35°
12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

评卷人
得 分

二．填空题（共6小题）
13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　 　度．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　 　．

15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　 　．

16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　 　．

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　 　．

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　．

评卷人
得 分

三．解答题（共6小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．
求证：GE与FD互相垂直平分．

22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．

24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》
参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；
B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；
D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．
故选C．

2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
∴A、B、D都不正确．
∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
故C正确．
故选C．

3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对边分别相等 B．对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选D．

4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD
【解答】解：如图：
A、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
C、∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
故选D．

5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是
（　　）
A．相等 B．互相垂直
C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分
【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：
①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；
②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；
③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；
④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．
因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．
故选A．

6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）
A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm
【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD===5cm．
故选D．

7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．

8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（　　）

A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定
【解答】解：
过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
则∠4=∠5=90°=∠AMF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，
∴四边形AMFD是矩形，
∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，
同理HN=AB=2，HN∥AB，
∴∠1=∠2，
∵HG⊥EF，
∴∠HOE=90°，
∴∠1+∠GHN=90°，
∵∠3+∠GHN=90°，
∴∠1=∠3=∠2，
即∠2=∠3，∠4=∠5，
∴△FME∽△HNG，
∴==
∴EF：GH=AD：CD=3：2．
故选B．

9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）

A．12 B．6 C．12.5 D．25
【解答】解：如图，连接CP．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===25，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，
即 ×20×15=×25•CP，
解得CP=12．
故选A．

10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（　　）

A．80° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：如图，连接BF
在△BCF和△DCF中，
∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF
∴△BCF≌△DCF
∴∠CBF=∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°
∴∠ABF=∠BAF=40°
∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°
∴∠CDF=60°．
故选D．

11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．35°
【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：
在△BGF与△CPF中，，

∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG，
∵PF=PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，
∴∠FPC=55°；
故选：A．

12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中

∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB=，OF=，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2，
∴④正确；
故选：C．

二．填空题（共6小题）
13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于　75　度．

【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．
故答案为：75．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为　4　．

【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2，
S菱形ABCD=底×高=2×2=4，
故答案为4．

15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是　3　．

【解答】解：如图，连接CE，
，
设DE=x，则AE=8﹣x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE=8﹣x，
在Rt△CDE中，
x2+42=（8﹣x）2
解得x=3，
∴DE的长是3．
故答案为：3．

16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．

【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG=AB=CD=FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO=BD=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG=AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF=BE，
∵GP=BE=GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案为：①②④．

17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=　30°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，OB=OA，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∵∠1=15°，
∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠AOB=30°+30°=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，
∵∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠OEB=∠EOB，
∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，
∴∠OEB=75°，
∵∠AEB=45°，
∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，
故答案为：30°．

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　　．

【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD===10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴×AO×PE+×DO×PF=12，
∴5PE+5PF=24，
PE+PF=，
故答案为：．

三．解答题（共6小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．

【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=AB=AD，
又∵AE∥CD，CE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，AC===8．
∵平行四边形ADCE是菱形，
∴CO=OA，
又∵BD=DA，
∴DO是△ABC的中位线，
∴BC=2DO．
又∵DE=2DO，
∴BC=DE=6，
∴S菱形ADCE===24．

20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．

【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．
求证：GE与FD互相垂直平分．

【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，
∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DGB和△DEC中，
，
∴△DGB≌△DEC（AAS），
∴DG=DE，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴四边形DEFG是菱形
∴GE与FD互相垂直平分．

22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．

（2）结论：MN∥BC且MN=BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE=NC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）
∴MN=BC；
法二：延长MN至K，使NK=MN
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK=BC，
所以MN=BC

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．

23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．

【解答】（1）△BEC是直角三角形：
理由是：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE===，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）解：四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF==，
∴EF=CE﹣CF=﹣=，
∵PF==，
∴S矩形EFPH=EF•PF=，
答：四边形EFPH的面积是．

24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，
∴BD=AC，
∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF=AC，
∴BD=DF；
（2）证明：∵BD=DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．

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