人教版初中数学第十八章平行四边形知识点.doc

第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.
证明：连接AC，

又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA，

平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图，□ ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC，OB=OD．
∵BD⊥AB，∴在Rt△ABO中，AB=12cm，AO=13cm．
∴BO=．∴BD=2B0=10cm．
∴在Rt△ABD中，AB=12cm，BD=10cm．
∴AD=(cm)．
例、如图，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.
解：∵△AOB的周长为25，
∴OA+BO+AB=25，
又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，
∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
181.2 平行四边形的判定
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
例、 如图，在□ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵点E在AD上，点F在BC上，
∴AE//CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
例、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB．
（2）四边形ABCD是平行四边形．

解：（1）∵DF∥BE， ∴∠AFD＝∠CEB． 又∵AF=CE， DF=BE，
∴△AFD≌△CEB．
（2）由(1)△AFD≌△CEB知AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， ∴AD∥BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形．

N
M
F
E
A
B
C
D

例、如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD∥BC
又∵AE=CF，∴ED=FB，四边形AFCE是平行四边形
∴AF∥EC．同理：BE∥FD．∴四边形MFNE是平行四边形．

18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线.
矩形性质1：矩形的四个角都是直角.
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．
证明：在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，又DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形.
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AB=AE，
，
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形
18.2.2 菱形

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.
菱形性质1：菱形的四条边都相等.
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
18.2.3 正方形
正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.
正方形性质1：正方形的四个角都是直角.
正方形性质2：正方形的四条边都相等.
正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.
正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.
例、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ，
BD＝6 cm， DH⊥AB于H，求：DH的长.

∵四边形ABCD是菱形，
，
∴AB=5cm，
，
．

例、已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长.
解：∵菱形ABCD的周长为16cm，
∴AB=BC=4cm，△ABC是等边三角形，
∴AC=4cm，
∵AC，BD互相垂直平分，
∴OA=2

例、如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，
PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
证明：连接PC， 
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中， AD＝CD，∠PDA＝∠PDC，PD＝PD，
∴△PAD≌△PCD，
∴PA=PC，
∴EF=AP，

例、在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.
试说明:DE=DF
解：∵AB=AC，∠B=∠C    
∵DE⊥ AB，DF⊥ AC    
∴∠DEB≌DFC= 90°  
∵D是BC的中点
∴BD=DC    
∴△BDE≌△CDF  
∴DE=DF.

例、如图，ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，
试问：四边形ABEF是什么图形吗？
请说明理由.
解：四边形ABEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABEF是菱形．