初三数学解直角三角形专题复习.doc

第五讲 解直角三角形
一、【知识梳理】
知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。
知识点2、解直角三角形的工具：
1、直角三角形边、角之间的关系：
sinA=cosB= sinB=cosA= tanA=cotB= cotA=tanB=
2、直角三角形三边之间的关系： （勾股定理）
3、直角三角形锐角之间的关系 ： 。（两锐角互为余角）
知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种，
（1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。
知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语
1、方位角：
在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点.
2、仰角和俯角
在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下
方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据.
3、坡度和坡角：
在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度（或坡比），用字母i表示（如图（1）），则有坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：，
这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大.

二、【典型题例】
考点1、解直角三角形
例1．、1、在中，为直角，、、所对的边分别为．
（1）已知，，求和． （2）已知，，求．
2、如图，已知△ABC中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD是BC边上的高，求AD的长
3、已知，如图，△ABC中，∠A=30°，AB=6，CD⊥AB交
AB延长线于D，∠CBD=60°。
求CD的长。

考点2、解直角三角形的应用
例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度

A
B
C
D
F

E

H
G
例3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.
A
B
（1）求证：△AEG∽△CHG；
（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；
（3）若BC=1，求cos∠CHG的值.

例4、如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度=1:1.2，斜坡BC的坡度=1:0.8，大堤顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F分别在AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF为3.8米时，大堤加高了几米?
A
B
C
北
北
60º
45º
D

例5．（08荆州）载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45º方向，在B地正北方向，在C地北偏西60º方向．C地在A地北偏东75º方向．B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：）

例2. 如图ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若（1）求△ANE的面积；
（2）求sin∠ENB的值。

三、【巩固与提高】
（一）、填空题：
1．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，则BD的长是_______。
2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm．
3．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交
AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是_______．(结果保留根号)
4．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点
上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
（二）、解答题：
5．为了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（≈1.73，
17cm
第6题图
A
B
C
D
E
F
要求结果精确到0．lm）

6．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．
（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17厘米的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?
（参考数据：cos20°0.94，sin20°0.34，sin18°0.31，cos18°0.95）

7．如图，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1:2．现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方?

8．如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α ．
(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；
(2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼
的影子刚好不影响乙楼采光 ？
作业：
1.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
（A）a=csinA；（B）abcotB；（C）b=csinB；（D）.

2.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α,则楼房BC的高为( )
（A）米；（B）米； （C）米； （D）米
3.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ

4．已知,如图,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=7,tanA=2,
∠B=∠D=90°,求BC的长.
5．如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：≈1.73）

6．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
7．我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．

8．如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.

9．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
10．如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高 6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB．（精确到0.1米）
11．在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
（1） 在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α ；
（2） 量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;
（3） 量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）
1） 在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图
2）写出你的设计方案。
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝cm,求∠B，AB，BC.　
13．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）

14．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

15．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）
16．北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．
参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393 sin67．4°≈ 0．9231
cos 67．4°≈ 0．3846 sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l
sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322
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