初中数学竞赛标准教程及练习38：平行和垂直.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（38）
平行和垂直
一、内容提要
一.证明两直线互相平行常用的定理
① 利用角　同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。
② 利用第三线　都平行或都垂直于第三线的两直线平行。　　　　　　　　　
③ 利用比例式　△ABC中，如果　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　那么DE∥BC　　　　　　　　　
④ 其他　三角形中位线平行于第三边　　　　　　　　　　　
　　　　　梯形中位线平行于两底
　　　　　平行四边形对边平行
二.证明两直线互相垂直常用的定理
1.　按垂直定义　即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。
直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。
2. 在三角形中证明直角
① 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。
② 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。
③ 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。
④ 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。
⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
3. 菱形对角线互相垂直
二、例题
例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。
　已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE
　求证：MN∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明：分别延长AM，AN交BC于F，G　　　　　　　　　　　
　则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2，BM＝BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMB≌△FMB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AM＝MF　　　同理可证AN＝NG　　　　　　　　　　　　　　
∴MN是△AFG的中位线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN∥FG，即MN∥BC
例2.已知：AD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，
EG⊥BC交BC于G　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　
　求证：FG∥AC，AG⊥BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明的要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BE是角平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴点E到∠ABC的两边距离相等，
即EA＝EG　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　D　　G　C　　　
∵∠AFE，∠AEF分别是∠EBC，∠ABE的余角，　∴∠AFE＝∠AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　故AFGE是菱形
例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高
BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E
求证：EN∥BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根椐轴对称图形的性质　　　　　　　　　　
CM，CN也三等分∠ACB　　　　　　　　　　　
点N是△ACE的内心，　　　　　　　
∴EN是∠AEC的平分线　　　　　　　　　　　
∴∠1＝∠ABM＝30　　　　　　
例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，
　　　　AE交BD于M，CD交BE于N
求证：MN∥AC
证明：在等边△ABD和△BCE中
AB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60　　　　
∴BM∥CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，，　∴　　　∴MN∥AC　
例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB
　作PF⊥BC
求证：PD⊥EF　　　　　　　　　　　　
分析：要证明PD⊥EF，可证∠PMF＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　
先证∠1＋∠2＝90　∵∠2＋∠3＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而∠1＝∠4　　只要证∠3＝∠4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可用边角边证△BEF≌△GPD　（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q经过点O，C是⊙O优弧AB上的一点，CB延长线交⊙Q于D，　　　　
求证：DO⊥AC
证明：连结AB，作⊙O直径AE，DO延长线交
AC于F　　∵∠C＝∠E，∠D＝∠EAB　
∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，　∴DO⊥AC
三、练习38
1 四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CD
2. 正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AE＝BF
则AE⊥CF
3. 已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，E，F分别在BC和CB的延长线上且CE＝BF＝BC　求证：AE⊥DF
4. 分别以△ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证　AH＝CE，AH⊥CE
5. 已知：D，E，F是△ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且　　HE⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC
求证：△FDG≌△HEF　　FG⊥FH　　　　　　　　　　
6. 已知：在平行四边形ABCD中，
∠A和∠B的平分线交于E，
∠C和∠D的平分线相交于F
求证：EF∥BC　
7. 三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点　这点叫做三角形的垂心，如图△ABC中，两条高AD和BE交于H，那么　　　　　　　　　　　　　　　
H是△ABC的垂心　　D是△＿＿＿＿＿的垂心　　　　　　　　　　　　　　
E是△＿＿＿的垂心　C是△＿＿＿＿＿＿的垂心
8. 已知：O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点，在BC的延长线上任取一点P，过P作AB的垂线PD，D为垂足，过P作AC的垂线PE，E为垂足。
试问：不论P点在BC延长线上的哪一个位置，∠DOE都等于几度？并证明你的结论

练习38参考答案：
1. 多种证法。AD和BC的延长线交于P，用比例式证明平行较简
2. 用Rt△ABE的直角
3. 证明　菱形对角线
4. △ABH≌△EBC，∠AHB＝∠ECB……
6.　E，F是三角形的中位线
8.∠DOE＝Rt∠，可证明△AOD≌△EOP……