《从力做的功到向量的数量积》(课堂PPT).ppt

5,从力做的功到向量的数量积,2,物理中我们学过功的概念，一个物体在力 的作用,下产生位移 （如图）,力,所做的功,W,可用下式计算,:,其中,是,与,的夹角,.,2,当,0,90,时，,W,0,即力,F,做正功；,当,90,时，,W,0,，即力,F,不做功；,当,90,180,时，,W,0,，即力,F,做负功,.,从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念,.,2,1.,通过物理中,“,功,”,等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义,.,（重点）,2.,体会平面向量的数量积与向量射影的关系,.,3.,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用,.,（重点）,4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,.,（难点）,2,两个非零向量 和 ，作 ，则,（）叫作向量,与,的夹角,O,A,B,思考,1,如何定义向量的夹角？,计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起,.,探究点,1,向量的数量积,2,O,A,B,若 ，,与,同向,O,A,B,若 ，与,反向,O,A,B,若 ，,与,垂直,，,记作,由于零向量的方向是任意的，为方便起见，,规定,:,零向量可与任一向量垂直,.,2,，过点,B,作,BB,1,垂直于直线,OA，,垂足为,B,1,，则,|,|,cos,叫作向量,在,方向,上的,射影,(,也叫,投影,),当,为锐角时，,cos,_,0,思考,2,什么是向量的射影？,O,A,B,B,1,2,O,B,A,当,=0,时，,|,|cos,=_,|,|,当,为钝角时，,|,|,cos,_,0.,当,为直角时，,|,|cos,_,0,=,B,O,A,O,A,B,2,O,B,A,当,=180,时，,|,|cos,=_,B,1,物理实例中，与位移,方向一致的分力,的长度为,cos,，即是力,在,方向上的射影,.,-,|,2,思考,3,平面向量的数量积的定义如何？,已知两个向量 与 ，它们的夹角为,，我们把,|cos,叫作 与 的,数量积,（或内积）,.,记作,=|cos,注意：向量的数量积是一个数量,.,特别地,:,零向量与任一向量 的数量积为,0.,2,已知,=(1,1),=(2,0),与 的夹角,=,45,.,求,.,例,1,已知,|=3,，,|=4,，且,与,的夹角,=150,，求,.,解：,=|cos,=3,4,cos150,=3,4,（,-,）,=,6,解：,|=,|=2,=45,所以,=|cos,=,2,cos45,=2.,2,思考,4,数量积的几何意义是什么？,2,特别提醒：,1.,2.,若 是单位向量,则,单位向量是一种特殊的向量哟！,2,重要性质：,1.,若 是单位向量，则：,2.,3.,4.,5.,当且仅当 时等号成立,.,2,思考,5,数量积的物理意义是什么？,2,反之成立吗？,解答不成立,.,解答：,成立,.,思考：,探究点,2,向量的数量积的运算律,2,练习：,判断下列说法的正误,3,若,，,=,0,，,则,=,2,若,，,则对任一非零向量,有,0,1若,=,，,则对任一向量,，,有,=,0,4,若,=,0,，,则,中至少有一个为,5若,，,=,，,则,=,6,若,=,且,当且仅当,=,时成立,7,对任意向量,有,2,例,2,在,ABC,中，设边,BC,，,CA,，,AB,的长度分别为,a,，,b,，,c,，证明：,a,=b,+c,2 bccosA,，,b,=c,+a,2cacosB,，,c,=a,+b,2abcosC.,A,a,c,b,C,B,证明：,设 则,同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理,.,=b,+c,2 bccosA.,2,向量法证明几何问题的步骤：,1.,将三角形的边用有向线段表示,.,2.,根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系,.,3.,通过平方和向量的数量积整理出所要的结果,.,2,例,3,证明菱形的两条对角线互相垂直,.,证明：,菱形,ABCD,中，,AB=AD,，由于,可得,=0,，,所以,，,即菱形的两条对角线互相垂直,.,A,B,C,D,O,2,证明线段垂直的方法：,1.,取两个不共线的向量作基底,.,2.,将要证明的向量用这两个向量表示,.,3.,利用 进行证明,.,【,提升总结,】,2,例,4,已知单位向量,的夹角为,60,，求向量,的夹角,.,解：,由单位向量,的夹角为,60,，得,所以,所以,又,2,设 与 的夹角为 ，由可得,又 所以,.,即向量 与 的夹角为,.,2,技巧点拨：,1.,以 ，为基底,计算 的值,.,2.,利用向量的夹角公式计算,.,2,1.,判断下列说法的正误,:,（,1,）平面向量的数量积可以比较大小,.(,),（,2,）,(,),（,3,）已知 为非零向量,因为,0,=,，,=0,所以,=(,),(4)(,),2,2.ABC,中，则该三角形为,(),A.,锐角三角形,B.,直角三角形,C.,钝角三角形,D.,不能确定,【,解析,】,由 知,ABC,为锐角；,由 知,ACB,为钝角,.,C,2,3.,在,ABC,中，,M,是线段,BC,的中点，,AM=3,，,BC=10,，,则,_.,-16,-2,4.,若,|a|=1,|b|=2,，且,a,，,b,反向，则,a,b=_.,2,解：,2,本节课主要学习了：,1.,向量的夹角,.,2.,向量的射影,.,3.,向量的数量积,.,4.,向量的数量积的几何意义和物理意义,.,5.,向量的数量积的性质和运算律,.,