三角恒等变换高考试题(二).doc

三角恒等变换高考试题精选（二）

一．选择题（共15小题）
1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）
A． B． C．1 D．
4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）
A． B． C． D．
6．若tanα=2tan，则=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
8．已知，则tan2α=（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．已知sin2α=，则cos2（）=（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
11．若，则cos2α+2sin2α=（　　）
A． B．1 C． D．0
12．若，则=（　　）
A．1 B． C． D．
13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）
A． B． C． D．
14．设，且，则（　　）
A． B． C． D．
15．已知，则=（　　）
A． B． C． D．

二．填空题（共8小题）
16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　 　．
17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　 　．
18．已知，则=　 　．
19．若，则=　 　．
20．已知tanα=2，则=　 　．
21．化简：﹣=　 　．
22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　 　，tan2α=　 　．
23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　 　．

三．解答题（共7小题）
24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．
26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan=；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

28．已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
30．已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．

三角恒等变换高考试题精选（二）
参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）
1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故选：A．

2．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故选：D．

3．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵tanα=，
∴cos2α+2sin2α====．
故选：A．

4．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ
==．
故选：D．

5．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，
故选：A．

6．（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：tanα=2tan，则==
===========3．
故答案为：3．

7．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
【解答】解：由tanα=，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．
故选：C．

8．（2013•浙江）已知，则tan2α=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，
联立解得，或
故tanα==，或tanα=3，
代入可得tan2α===﹣，
或tan2α===
故选C

9．（2017•自贡模拟）已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴sin（α+）==，
而 cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，
∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，
则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，
故选：A．

10．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【解答】解：==，
由于：，
所以：=，
故选：D．

11．（2017•平罗县校级一模）若，则cos2α+2sin2α=（　　）
A． B．1 C． D．0
【解答】解：由，得
=﹣3，
解得tanα=2，
所以cos2α+2sin2α====．
故选A．

12．（2017•龙凤区校级模拟）若，则=（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：，则===．
故选：B．

13．（2017•潮州二模）已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sin（α）=则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，
故选：A．

14．（2017•龙凤区校级模拟）设，且，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴，
∴，
∵，，
∴，即，
故选：B．

15．（2017•泸州模拟）已知，则=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，
可得：cos（）=sin[﹣（）]=．
那么：=cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．
故选：B．

二．填空题（共8小题）
16．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　　．
【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，
要使+=2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则：，k1∈Z．
，即，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．
故答案为：．

17．（2017•新课标Ⅰ）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　　．
【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，
∴sinα=2cosα，
∵sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=，
∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，
故答案为：

18．（2017•黄石港区校级模拟）已知，则=　　．
【解答】解：∵，
∴
=
=+
=
=
故答案为：

19．（2017•张家界一模）若，则=　　．
【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，
故答案为：．

20．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=　1　．
【解答】解：tanα=2，则===1．
故答案为：1．

21．（2017•厦门一模）化简：﹣=　4　．
【解答】解：由﹣==．
故答案为4．

22．（2017•永康市模拟）若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　﹣　，tan2α=　﹣　．
【解答】解：∵sin（α+）=3sin（﹣α），∴sinα+cosα=3cosα，∴tanα=，
则cos2α====﹣，
∴tan2α===﹣，
故答案为：﹣；．

23．（2017•重庆模拟）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　　．
【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1
解得：或，
∵θ∈（0，π），
∴，
则==．
故答案为：．

三．解答题（共7小题）
24．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB=，可得cosB=．
由已知及余弦定理，有=13，
∴b=．
由正弦定理，得sinA=．
∴b=，sinA=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣．
故sin（2A+）==．

25．（2017•嘉定区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．
【解答】解：
解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．
又∵a﹣b=2，
∴a=4，b=2．
cosB===．
sinB===．
∴S△ABC=acsinB==．
（II）cosA===．
sinA===．
sin2A=2sinAcosA=2×．
cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB
==．

解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．
又∵a﹣b=2，
∴a=4，b=2．
又c=4，可知△ABC为等腰三角形．
作BD⊥AC于D，则BD===．
∴S△ABC==．
II）cosB===．
sinB===．
由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B．
∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B
=2sinBcosB
=2××=．

26．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．

27．（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan=；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．
（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
则：cosA===．
于是sinA==，
连结AC，同理可得：cosB===，
于是sinB==．
所以tan+tan+tan+tan===．

28．（2015•广东）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）====1．

29．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，
所以==．
（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．
又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．
设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．

30．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=
（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；
∴sin（+α）的值为：﹣．
（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．
cos（﹣2α）的值为：﹣．

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