1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第四节 函数的极限,函数的极限,函数极限的唯一性,函数极限的局部有界性,函数极限的局部保号性（定理,1,、定理,2,）,函数极限与数列极限的关系,2,函数的自变量的变化过程可分为两种情况：,（1）,自变量,无限接近有限值,表示为,（2）,自变量,的绝对值,无限增大，,表示为,在自变量的某个变化过程中，,若对应的函数值无限接近于,某个确定的常数，,那么，这个确定的常数就叫做这一变化过,程中函数的极限。,函数极限的描述性定义。,一、基本理论,x,y,O,A,。,3,函数极限的,-,定义:,注1:,注3:,注
2、2:,4,几何解释：,x,y,O,A,。,f,(,x,),局,部有界。,此式表明,f,(,x,),在,内既有上界，,又有下界，即,:,5,2.,极限的局部保号性,定理1:,6,由定理1,定理1,:,定理2:,问题：,比较定理,1,、,2,，注意,“”,和,“,”,，为什么？,7,3.,左、右极限，函数极限存在的充分必要条件,左、右极限：,8,左、右极限的,-,定义:,左极限：,右极限：,注：,定理3经常用于判断极限不存在的情况。,极限存在的充要条件：,定理3：,9,4.,时函数,的极限,函数极限,X,定义：,-描述性定义。,10,单边极限的定义:,11,的,水平渐近线,。,水平渐近线:,的图形
3、1,1,12,定理:,证,（必要性）,则,即,当,当,即,（充分性）,则,取,则只要,恒有,13,6.,数列极限与函数极限之间的关系,若,存在，必有,存在。,反之，若,不存在，,一定不存在。,数列是以正整数集为定义域的函数，即,因此数列的极限,可以看成是函数 当,自变量取正整数,n,，并趋于正无穷大时的极限。,（,1,）,（,2,）,无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。,（,3,）,收敛数列的有界性是整体概念，即若,存在，则对,而对于函数,存在，则只能推得函数在,的某个,邻域有界，即,14,证,例,1,用定义证明,二、例题,用极限的定义证明,函数的极限，关键,是找到,P3,15,难
4、找，,对不等式,适当放大,16,即,取,则当,有,注：,用定义证明函数极限 的步骤,取,由不等式,经一系列地放大可得：,（其中,C,为常数）,解不等式,得,则当,时，总有,即,17,例,3,证明：当,时，,证:,对于,由于,要使,只要,即,为保证,有定义，用,来限制。,取,则当,时，,所以,18,1,证,例,4,19,注：,用定义证明函数极限 的步骤,取,由不等式,经一系列地放大可得：,（其中,C,为常数）,解不等式,得,则当,时，总有,即,20,例,5,讨论函数,当,时，函数,的极限的情况。,因为：,1,-1,而当,从,的右边逼近于,时，函数值在-1与1之间振荡，即,不存在。,由定理3知：,21,解：,例,6,（,记录）,例,7,证明,不存在。,证,设,取,及,当,时，,而,不存在。,（,记录）,22,注：,极限不存在的几种典型例子,趋于,如：,振荡，如：,左、右极限不相等，单侧极限不相等，如：,所以，,不存在。,所以，,不存在。,23,
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