高三理科数学试卷(含答案).doc

饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）2010.8.10
饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）
一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分)
1．复数=
2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

第1个
第2个
第3个

则第n个图案中有白色地面砖 块。
3．若不等式对一切非零实数均成立,则实数的最大值是__ ____；
4．已知关于的不等式（是常数）的解是非空集合，则的取值范围是 ．
二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5．在中，已知，且，
(1)求的大小;
(2)证明是等边三角形.

6．先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题：
若,则.
证明:构造二次函数 将展开得：

对一切实数恒有，且抛物线的开口向上
，．
（1）类比猜想：
若,则 ．
（在横线上填写你的猜想结论）
（2）证明你的猜想结论．

7．某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及．

8．把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为.
（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

9．（本小题满分14分）已知数列满足：，且对任意N*都有
．
（1） 求，的值,猜想数列的通项公式；
（2） 证明你的猜想；
（3）证明：=（N*）.

10. 已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3）当时，求证对大于的任意正整数，．

饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2）答题卷

姓名：____ 座号：____________班级：____________ 成绩：_____________
一、 填空题:(本题4小题，每小题5分，共20分)

1. _________ 2. ________________ 3. _______________ 4. _____________
二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5.解：

6.解：（1）若,则 ．
（2）证明：

7.解：

8.解：

9.解:

10.解：

饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（1）参考答案
二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分)
1. 2. 3. 4.
二、 解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5、解: (1) ,由余弦定理，得 -------3分
又为的内角，∴. --------------------4分
(2)，
， ………………………6分
……………………………………………8分
∵为的内角，． ……………………………10分
又，∴是等边三角形. -------------------12分
另证：， -------------------5分
由余弦定理和正弦定理，得， ----------------8分
整理得，.----------------------------------------10分
又，∴是等边三角形. ------------------12分

6．解：（1） ……………………………………4分
（2）证明: 构造二次函数 ……6分
………………8分
………………………… 9分
对一切实数恒有，且抛物线的开口向上 ………………10分
………………………… 11分
即 . ……………………………………… 12分
7、解：（1）设“世博会会徽”卡有张，由=，得n=4….3分
故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为…………………………5分
（2）可能取的值为0，1，2，3，4，则……. ……6分

…………………………………………9分

0
1
2
3
4

.......10分
0×+1×+2×+3×+4×= …………………12分

法二（1）设“海宝”卡有张，由得
n=6或n=13（舍去） …………………………………… 3分
故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为…………………………5分
（2） …………………………………………………6分

0
1
2
3
4

............10分

8．解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为---1分.
则 。 函数的定义域为. --- 4分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.先求的极值点.
在开区间内，---------------6分
令，即令，解得.
因为在区间内，可能是极值点. 当时，；
当时，. ------------8分
因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.---------10分
9．（本小题满分14分，其中（1）题3分，（2）题7分，（3）题4分）
解：（1）依题意可得，
得 得 ……2分
猜想数列的通项公式为 ………………… 3分
（2）当时，①
②
① － ② 得： ……………… 5分
∴ 数列皆为等差数列 ……… 7分
∴　 …… 9分
综上， ， ． ………………… 10分
（3）
……… 13分
∴等式成立. ……… 14分

10．（1）对函数求导得：，定义域为，依题意得： ，
∴函数的极小值点为
（２）当时，，在，若，则，若则，故是函数在区间上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故；
， 因为，所以，即，即函数在区间上最大值是．综上知函数在区间上最大值是，最小值是．
（３）当时，由（１）知，函数在上为增函数．
当时令，则，故，　　　　　
即，即．　
故，，…………，，
相加得，
而，
即．

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