九年级数学统计初步的有关知识.doc

初三数学复习统计初步的有关知识
一. 本周教学内容：
复习统计初步的有关知识

［知识要点］
平均数、众数、中位数、方差、标准差等都是统计学中的基本统计量。其中平均数、众数及中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势的特征数；方差和标准差都是用来衡量一组数据相对它们的平均数的离散程度的大小。

（一）平均数、众数与中位数
1. 总体、个体、样本和样本容量。
总体是考察对象的全体，总体中的每一个考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。
2. 平均数。

3. 中位数、众数。
中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间位置的一个数据，（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
4. 众数、中位数、平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。

（二）方差与标准差
1. 方差：
（1）定义：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做该样本的方差。
（2）方差的计算公式：

（3）方差的简化计算公式：

（4）数据的规律变化对平均数、方差的影响。

2. 标准差：
样本方差的算术平方根叫做样本标准差

3. 样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的特征数，样本方差、标准方差越大，表明样本数据的波动就越大，也就是说稳定性越差。

（三）频率分布：
1. 频率分布：
频率分布反映的是样本数据在各个小范围内所占比例的大小，从而估计总体的分布规律。
2. 获得一组数据频率分布的一般步骤：
（1）计算最大值与最小值的差。
（2）决定组距和组数。
（3）决定分点。
（4）列频率分布表。
（5）画频率分布直方图。
3. 有关的名词：
在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。

在频率分布直方图里：

例1. 为了考察北京市初中毕业升学数学考试的情况，从十二万五千考生中抽取了1200名考生的成绩，在下列说法中正确的是（ ）
A. 十二万五千名考生数学考试成绩的总和是总体
B. 每个考生考试成绩是个体
C. 1200名考生是样本
D. 1200名考生的成绩是样本容量
分析：本题主要考查对四个基本概念的理解，这里的考察对象是考生的“数学成绩”，而不是“学生”。因此十二万五千名考生的数学考试成绩是总体，每个考生的数学考试成绩是个体。1200名考生的数学考试成绩是总体的一个样本，1200是样本容量，故选B。

例2. 为制定本市初中一、二、三年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
A. 测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高
B. 查阅有关外地180名男生身高的统计资料
C. 在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这几所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
分析：本题要求从所给的三种调查方案中选出合理的方案并阐释理由，这需要领悟统计的基本思想，才能做出正确选择及合理说明。
解：方案C比较合理，因为方案C采用了随机抽样的方法，随机抽样比较具有代表性，符合用样本估计总体的统计思想。

例3. 求下列各组数据的平均数。
（1）－0.1，0.3，0.6，0.2，－0.4
（2）39，29，31，36，38，37
（3）3.7，3.5，3.5，3.6，3.5，3.7，3.7
分析：（1）中有五个数据，大小比较分散，宜用定义法
（2）中的六个数据，都比较接近35，可用新数据法。
（3）中一些数据重复出现多次，可选择加权平均数公式来求。
解：

（2）取a=35，用原数据分别减去35，得到新数据是：
4，－6，－4，1，3，2

（3）数据中3.7出现3次，3.5出现3次，3.6出现1次

例4. 某公司欲聘请一位员工，三位应聘者A、B、C的原始评分如下表

①如果按五项原始评分的平均数评分，谁将被聘用？②如果按仪表、工作经验、电脑操作、社交能力、工作效率的原始评分分别占10%、15%、20%、25%、30%综合评分，谁将被聘用？
解：
人A最高，将被录用。
（2）按第二种方法综合评分，得xA=3.8，xB=3.65，xC=4.05，故应聘人C得分最高，将被录用。
注：按原始评分的平均数评分，突出了“工作经验”和“电脑操作”，按后一项方法综合评分突出“社交能力”和“工作效率”，各有所长。

例5. 一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：

指出这组数据的众数、中位数。
分析：数据频数最高的数就是众数，由于20是偶数，所以排在最中间的两个数据的平均数是中位数。
解：这组数据中，30、21出现的频数都是5，最多，因此众数是30cm，21cm，将

注：1. 一组数据中的众数可能不止一个。
2. 本题求中位数，在排列数据时，易犯如下错误：
排列数据20，21，23，25，28，30

例6. 有14个数据，由小到大排列，其平均数为34，现在有一位同学求得这组数据前8个数的平均数为32，后8个数的平均数为36，求这组数据的中位数。
分析：这一组数据共有14个数，且排列顺序是由小到大排列的，那么中位数应该是最中间两个数据的平均数，只需求出最中间两个数据或它们的和即可
解：设这组数据前6个数据的和为x，中间两数据的和为y，后6个数据的和为z，由题意，得：

∴②＋③－①，得 y=68
∴最中间两个数据的平均数为34，故这14个数的中位数是34。

例7. 如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米。

（1）求y与x之间的函数关系式。
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积为多少？
（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程

个数据的众数与平均数，试求a与b的值。
分析：本题综合性强，内容涉及几何、函数、方程、统计知识。
解：（1）由题意知，△APN∽△ABC

（2）设矩形PQMN的面积为S

故当x=40毫米，y=60毫米时，矩形PQMN面积最大，最大面积为2400平方毫米。

∵a，10，12，13，b众数为10
∴a=10或b=10

当b=10时，同理可得a=15。

例8. 从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗分别测得它们的苗高如下（单位：cm）：
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8；
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11。
问：（1）哪种农作物的苗长得比较高？
（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？
分析：比较两种农作物苗高的平均数可得出哪种农作物长得高，计算出两种农作物苗高的方差，通过比较可得出哪种农作物长得比较整齐。
解：

∴两种农作物的苗平均高度相同。

∴甲种农作物的苗长得比较整齐。
答：甲、乙两种农作物的苗长得一般高，甲种农作物的苗长得比较整齐。

例9. 一组数据1，2，3，x，－1，－2，－3，其中x是小于10的正整数，且数据的方差是整数，求该数据的方差。
分析：本组数据中有未知数据，要求方差，必须先求出未知数据，而建立方差与未知数据之间的关系是解决本题的关键。
解：

又∵x是小于10的正整数，S2是整数
∴x=7

例10. 在对某班的一次数学测验成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分为100分），请观察图形，并回答下列问题：

（1）该班有__名学生；
（2）69.5~79.5这一组的频数是__________，频率是___________；
（3）请估算该班这次测验的平均成绩。
分析：图表反映了每一分数段所对应的人数，这是理解图表语言的关键。
解：（1）该班人数为：6+8+10+18+16+2=60（人）

∴该班这次测验的平均成绩约为71分。

1. 一组数据2，4，6，a，b的平均数为10，
（1）求a，b的平均数。
（2）求4a+7，4b+10的平均数。
2. 有10个样本数据，2出现过4次，2.5出现过4次，3出现过2次，求样本平均数和方差。
3. 已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且满足a5到80.5之间的人数。

7. 一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下表：

已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁劣，并说明理由。

[参考答案]
1. （1）19 （2）84.5
2.
3. 众数c；中位数；平均数。
5. 解：∵x、y是方程的两根。
∴
又当x=6时，数据4，8，x，5，9的平均数不可能为4，故舍去。
∴ ∴原数据为4，8，4，5，9
∴众数为4，中位数为5，平均数为6。
6. 18人
7. 解：（1）从众数看，甲为90分，乙为70分，甲组成绩较好。
（2）从中位数看，两组中位数均为80分，但在80分以上（包括80分），甲组有33人，乙组有26人，甲组人数多于乙组人数，甲组成绩较好。
（3）从方差看，
∴
∴从成绩的稳定情况比较，甲组成绩优于乙组。
（4）甲组成绩高于90分的人数有20人，乙组成绩高于90分（包括90分）的人数24人，这说明，乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从“优生层”看，乙组的成绩较好。