2019年高考新课标2卷数学文(word版含答案).doc

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条

形码粘贴区。

2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在

草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的 ．

1．已知集合 A={ x | x1} ， B { x | x
2} ，则 A∩ B=

A． (– 1，+∞ )
B． (–∞， 2)

C．(–1， 2)

D．

2．设 z=i(2+i)，则 z =

A． 1+2i

B． –1+2i

C．1–2i

D． –1–2i

3．已知向量 a =(2， 3)， b=(3， 2)，则 | a– b| =

A．
2

B． 2

C．5
2

D． 50

4．生物实验室有
5 只兔子，其中只有 3
只测量过某项指标，若从这
5 只兔子中随机取出 3
只，则恰有
2 只测量过该指标的概率为

2

3

A．

B．

3

5

2

1

C．

D．

--
5 5

5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次

序为

A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙

6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0时， f(x)= ex
1，则当 x<0 时， f(x)=

A． e x

1
B． e x
1

．
e
x
1
． e x
1

C

D

7．设 α， β为两个平面，则 α∥ β的充要条件是

A． α内有无数条直线与 β平行

B．α内有两条相交直线与 β平行

C．α， β平行于同一条直线

D． α， β垂直于同一平面

8．若 x1=
， x2=
是函数 f(x)= sin x (
>0)两个相邻的极值点，则
=

4

4

3

A． 2

B．

2

C．1

1

D．

2

9．若抛物线
2

x2
y2
p=

y =2px（ p>0）的焦点是椭圆
3 p
1的一个焦点，则

p

A． 2

B．3

C．4

D． 8

10．曲线 y=2sinx+cosx 在点 (π，– 1)处的切线方程为

A． x y
1 0

B． 2x y 2 1 0

C． 2x y 2 1 0

D． x y1 0

11．已知 a∈（ 0， π）， 2sin2 α=cos2α+1，则 sin α=

2

A．
1

B．
5

5

5

C．
3

D． 2 5

3

5

x2
y2

12．设 F 为双曲线 C：
2
2 1（a>0，b>0）的右焦点， O 为坐标原点，以 OF

a

b

为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、 Q 两点．若 | PQ|=| OF| ，则 C 的离心率为

A． 2

B．
3

C． 2

D．
5

二、填空题：本题共 4
小题，每小题
5
分，共
20 分 ．

2x
3y
6
，

0

13．若变量 x， y 满足约束条件 x
y
3

，
则 z=3x–y 的最大值是 ___________.

0

y
2
，

0

14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有
10 个车次的正

点率为 0.97，有 20
个车次的正点率为
0.98
，有 10
个车次的正点率为
0.99，则经停该站

高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

___________.

15． △ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为

a， b， c.已知 bsinA+acosB0，则 B=__________

_.

16．中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一． 印信的形状多为长方体、 正方体

或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是 “半正多面体 ”（图 1）.半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 .半正多面体体现了数学的对称美．图 2

是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方

体的棱长为 1．则该半正多面体共有 ________个面，其棱长为 _________．（本题第一

空 2 分，第二空 3 分．）

三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17～21 题为必考题，

每个试题考生都必须作答

（一）必考题：共 60 分。


．第


22、 23


题为选考题，考生根据要求作答


．

17．（ 12 分）

如图，长方体 ABCD–A
的底面 ABCD是正方形，点
E 在棱 AA 上， BE⊥ EC
1B1C1D1

1
1 .

（ 1）证明： BE⊥平面 EB1C1；

（ 2）若 AE=A1E， AB=3，求四棱锥 E BB1C1C 的体积．

18．（ 12 分）

已知 { an } 是各项均为正数的等比数列， a1 2, a3 2a2 16 .

（ 1）求 { an} 的通项公式；

（ 2）设 bn
log 2
an ，求数列 { bn} 的前 n 项和 .

19．（ 12 分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，
随机调查了
100 个企业，得到这些

企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率
y 的频数分布表 .

y 的分组
[
0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)

企业数
2

24
53
14
7

（ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（ 2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） .（精确到 0.01）

附： 74 8.602 .

20．（ 12 分）

已知 F1, F2 是椭圆 C : x
2
y
2

2
2
1(a b 0) 的两个焦点， P 为 C 上一点， O 为坐标原

a

b

点．

（ 1）若 △ POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率；

（ 2)如果存在点 P，使得 PF1 PF2 ，且 △ F1 PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值

范围 .

21.（12 分）

已知函数 f ( x) ( x 1)ln x x 1 .证明：

（ 1） f (x) 存在唯一的极值点；

（ 2） f (x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 .

（二）选考题：共 10 分 ．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分 ．

22． [选修


4-4：坐标系与参数方程


] （ 10 分）

在极坐标系中，


O 为极点，点


M (


0 ,


0 )(


0


0) 在曲线


C :


4sin


上，直线


l 过点

A(4,0)


且与


OM


垂直，垂足为


P.

（ 1）当


0 =


3


时，求


0 及


l 的极坐标方程；

（ 2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 . 23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10 分）

已知 f ( x) | x a | x | x 2 | (x a).

（ 1）当


a


1 时，求不等式


f ( x)


0


的解集；

（ 2）若


x


(


,1) 时，


f (x)


0


，求


a 的取值范围


.

1．C
2． D
3．A
4． B
5． A
6． D

7．B
8． A
9． D
10． C
11．B
12． A

13． 9
14． 0.98
15．
3π
2 1

16．

4

17．解：（ 1）由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1， BE
平面 ABB1A1 ，

故 B1C1 BE .

又 BE EC1 ，所以 BE⊥平面 EB1C1 .

（ 2）由（ 1）知∠ BEB1=90 °.由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1 E，所以
AEBA1EB1 45 ，
故 AE=AB=3， AA1
2 AE 6 .

作 EF
BB1 ，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C ，且 EF AB
3.
所以，四棱锥 E
BB1C1C 的体积 V
1 3 6 3 18 .

3

18．解：（ 1）设 an
的公比为 q，由题设得

2q2
4q
16 ，即 q2
2q
8
0 .

解得 q
2 （舍去）或 q=4.

因此 an
的通项公式为 an
2
4n 1
22n 1
.

（ 2 ） 由 （ 1 ） 得 b
( 2n
1 ) l o g 2 n 2 ， 因1 此 数 列
bn
的 前 n 项 和 为

n

2

1 3

2n
1
n .

19.解：（ 1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的

100个企业中产值增长率不低于
40%的

企业频率为 14
7
0.21 .

100

2

产值负增长的企业频率为

0.02
.

100

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于

40%的企业比例为
21%，

产值负增长的企业比例为
2%.

（ 2） y
1
0.10
2 0.10
24
0.30

53 0.50
14
0.70

7) 0.30 ，

(

100

s2
1
5
yi
y

ni

2

100 i 1

1
(
0.40) 2
2 (
0.20) 2
24
02 53
0.20 2
14
0.402

7

100

=0.0296，

s
0.0296
0.02
74
0.17 ，

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%， 17%.

20.解：（ 1）连结 PF1 ，由 △ POF2 为等边三角形可知在 △ F1PF2 中， F1PF2
90 ，

PF2
c ， PF1
3c ， 于 是 2a
PF1

PF2
( 3 1)c ， 故 C 的 离 心 率 是

e
c

3
1 .

a

（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 满 足 条 件 的 点 P( x, y) 存 在 当 且 仅 当 1 | y | 2c
1 ，6

2

y
y

1， x2
y2
1，即
c|y| 16
，①

x c x c

a2
b2

x2
y2

c2
，②

x2
y2

1，③

a2
b2

由②③及 a2
b2
c2 得 y2
b4
，又由①知 y2
162
，故 b
4
.

c2

c2

2

由②③得 x2
a2
c2
b2 ，所以 c2
b2 ，从而 a2
b2
c2
2b2
32, 故 a
4 2 .

c

当 b 4
， a
4
2 时，存在满足条件的点 P.

所以 b
4
， a 的取值范围为 [4
2,
) .

21.解：（ 1） f
( x) 的定义域为（
0，+
） .

f
( x)
x
1

1

x
ln x 1
ln x.

x

因为 y
ln x 单调递增，
y
1

f
( x) 单调递增，又
f (1) 1
0 ，

单调递减，所以

x

f
(2)
ln 2
1
ln 4
1
0 ，故存在唯一 x0
(1,2) ，使得 f
x0
0 .

2
2

又当 x
x0 时， f
(x)
0 ， f (x) 单调递减； 当 x
x0 时， f ( x)
0
， f (x) 单调递增 .

因此， f ( x) 存在唯一的极值点 .

（ 2）由（ 1）知 f x0 f (1) 2 ，又 f e2 e2 3 0 ，所以 f ( x) 0 在 x0 ,

内存在唯一根 x.

由
x0
1 得 1
1
x0 .

又 f
1
1
1
ln
1 1
1
f ( )
0 ，故
1 是 f ( x)
0 在 0,x0
的唯一根 .

综上， f ( x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 .

22．解：（ 1）因为 M
0 ,
0 在 C上，当
0
3
时，
0
4sin
3
2
3 .

由已知得 | OP | |OA | cos
2
.

3

设 Q( , ) 为 l上除 P的任意一点 .在 Rt△ OPQ 中
cos

3
| OP |
2 ，

经检验，点 P(2,
) 在曲线
cos
3

2 上 .

3

所以， l的极坐标方程为
cos

2 .

3

（2）设 P(
, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP |
|OA | cos
4cos
,
即
4cos ..

因为 P在线段 OM 上，且 AP
OM ，故
的取值范围是
4
,
.

2

所以， P点轨迹的极坐标方程为

4cos
,

,
2
.

4

23．解：（ 1）当 a=1 时， f ( x)=| x
1| x+|x 2|(x
1)
.

当 x 1时， f (x)
2( x 1)2
0 ；当 x 1时， f ( x) 0 .

所以，不等式
f (x) 0
的解集为 (
,1) .

（ 2）因为 f
(a)=0 ，所以 a
1 .

当 a 1 ， x
(
,1) 时， f ( x)=( a
x) x+(2 x)(x
a)=2( a
x)(x
1)<0 .

所以， a 的取值范围是 [1, ) .