2019年河南省中考数学试题、答案(解析版).doc

2019年河南省中考数学试题、答案（解析版）
本试卷满分120分,考试时间100分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.的绝对值是 (　　)
A. B. C. D.
2.成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”用科学记数法表示为 (　　)
A. B. C. D.
3.如图,,,,则的度数为 (　　)
A.
B.
C.
D.
4.下列计算正确的是 (　　)
A. B.
C. D.
5.如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后得到图2.关于平移前后几何体的三视图,下列说法正确的是 (　　)

图1
图2
A.主视图相同
B.左视图相同
C.俯视图相同
D.三种视图都不相同
6.一元二次方程的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.某超市销售A,B,C,D四种矿泉水,它们的单价依次是5元3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示,则这天销售的矿泉水的平均单价是 (　　)
A.1.95元
B.2.15元
C.2.25元
D.2.75元
8.已知抛物线经过和两点,则n的值为 (　　)
A. B. C. D.
9.如图,在四边形ABCD中,,,,.分别以点A,C为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 (　　)
A.
B.
C.
D.
10.如图,在中,顶点,,.将与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转,则第70次旋转结束时,点D的坐标为 (　　)
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填写在题中的横线上)
11.计算：　　　　.
12.不等式组的解集是　　　　.
13.现有两个不透明的袋子,一个装有2个红球、1个白球,另一个装有1个黄球、2个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球,摸出的两个球颜色相同的概率是　　　　.
14.如图,在扇形AOB中,,半径OC交弦AB于点D,且.若,则阴影部分的面积为　　　　.

15.如图,在矩形ABCD中,,,点E在边BC上,且.连接AE,将沿AE折叠,若点B的对应点落在矩形ABCD的边上,则a的值为　　　　.

三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分8分)
先化简,再求值：,其中.

17.(本小题满分9分)
如图,在中,,.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证：；
(2)填空：
①若,且点E是的中点,则DF的长为　　　　；
②取的中点H,当的度数为　　　　时,四边形OBEH为菱形.

18.(本小题满分9分)
某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下：
a.七年级成绩频数分布直方图：

b.七年级成绩在这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根据以上信息,回答下列问题：
(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有　　　　人；
(2)表中m的值为　　　　；
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由；
(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.

19.(本小题满分9分)
数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据：,,,)

20.(本小题满分9分)
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
(1)求A,B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.

21.(本小题满分10分)
模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为,.由矩形的面积为4,得,即；由周长为,得,即.满足要求的应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标；
(2)画出函数图象
函数的图象如图所示,而函数的图象可由直线平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线；

(3)平移直线,观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时,周长的值为　　　　；
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长的取值范围为　　　　.

22.(本小题满分10分)
在中,,.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图1,当时,的值是　　　　,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　　　　；
(2)类比探究
如图2,当时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由；
(3)解决问题
当时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.

图1
图2
备用图

23.(本小题满分11分)
如图,抛物线交轴于A,B两点,交轴于点C.直线经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当是直角三角形时,求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点,则平面内存在直线l,使点M,B,到该直线的距离都相等.当点P在轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l：的解析式.(k,b可用含m的式子表示)

备用图

河南省2019年普通高中招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】解：,故选：B.
【提示】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.
【考点】绝对值的概念.
2.【答案】C
【解析】解：.
【提示】本题用科学记数法的知识即可解答.
【考点】科学记数法.
3.【答案】B
【解析】解：∵,
∴,
∵,
∴,
故选：B.
【提示】根据平行线的性质解答即可.
【考点】平行线的性质,三角形外角的性质.
4.【答案】D
【解析】解：,A错误；,B错误；,C错误；,D正确；故选：D.
【提示】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可.
【考点】整式的运算.
5.【答案】C

【解析】解：观察几何体,确定三视图,此几何体将上层的小正方体平移后俯视图相同,故选C.
【提示】根据三视图解答即可.
【考点】几何体的三视图.
6.【答案】A
【解析】解：原方程可化为：,
∴,,,
∴,
∴方程由两个不相等的实数根.
故选：A.
【提示】先化成一般式后,再求根的判别式.
【考点】一元二次方程根的情况.
7.【答案】C
【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是(元),
故选：C.
【提示】根据加权平均数的定义列式计算可得.
【考点】加权平均数的计算.
8.【答案】B
【解析】解：抛物线经过和两点,
可知函数的对称轴,
∴,
∴；
∴,
将点代入函数解析式,可得；
故选：B.
【提示】根据和可以确定函数的对称轴,再由对称轴的即可求解.
【考点】二次函数点的坐标特征,二元一次方程组的解法.
9.【答案】A
【解析】解：如图,连接FC,则.
∵,
∴.
在与中,
,
∴,
∴,
∴,.
在中,∵,
∴,
∴,
∴.
故选：A.

【提示】连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出.再根据ASA证明,那么,等量代换得到,利用线段的和差关系求出.然后在直角中利用勾股定理求出CD的长.
【考点】尺规作图,平行线的性质,勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定与性质.
10.【答案】D
【解析】解：∵,,
∴,
∵四边形ABCD为正方形,
∴,
∴,
∵,
∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次,每次旋转,
∴点D的坐标为.
故选：D.
【提示】先求出,再利用正方形的性质确定,由于,所以第70次旋转结束时,相当于与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次,每次旋转,此时旋转前后的点D关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标.
【考点】图形的旋转,点的坐标的确定.
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】
【解析】解：

.
故答案为：.
【提示】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【考点】实数的相关运算.
12.【答案】
【解析】解：解不等式,得：,
解不等式,得：,
则不等式组的解集为,
故答案为：.
【提示】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【考点】解不等式组.
13.【答案】
【解析】解：列表如下：

黄
红
红
红
(黄,红)
(红,红)
(红,红)
红
(黄,红)
(红,红)
(红,红)
白
(黄,白)
(红,白)
(红,白)
由表知,共有9种等可能结果,其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果,
所以摸出的两个球颜色相同的概率为,
故答案为：.
【提示】列表得出所有等可能结果,从中找到两个球颜色相同的结果数,利用概率公式计算可得.
【考点】概率的计算.
14.【答案】
【解析】解：作于点F,
∵在扇形AOB中,,半径OC交弦AB于点D,且.OA=2,
∴,,,
∴,
∴,,,,
∴,
∴阴影部分的面积是：,
故答案为：.

【提示】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积,本题得以解决.
【考点】不规则图形面积的计算.
15.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
①当点落在AD边上时,如图1.

图1
∵四边形ABCD是矩形,
∴,
∵将沿AE折叠,点B的对应点落在AD边上,
∴,
∴,
∴,
∴；
②当点落在CD边上时,如图2.

图2
∵四边形ABCD是矩形,
∴,.
∵将沿AE折叠,点B的对应点落在CD边上,
∴,,,
∴,.
在与中,
,
∴,
∴,即,
解得,(舍去).
综上,所求a的值为或.
故答案为或.
【提示】分两种情况：①点落在AD边上,根据矩形与折叠的性质易得,即可求出a的值；②点落在CD边上,证明,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.
【考点】图形的折叠,勾股定理.
三、解答题
16.【答案】解：原式

,
当时,原式.
【解析】解：原式

,
当时,原式.
【提示】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将的值代入计算可得.
【考点】分式的化简求值.
17.【答案】解：(1)证明：如图1,∵,,

图1
∴
∵AB是的直径,
∴,
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
(2)①
②
【解析】解：(1)证明：如图1,∵,,

图1
∴
∵AB是的直径,
∴,
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
(2)①如图2,过F作于H,∵点E是的中点,

图2
∴
∵,
∴
∵,
∴,即
∵,
∴,即,
∴
故答案为.
②连接OE,EH,∵点H是的中点,

∴,
∵
∴
∴
∵四边形OBEH为菱形,
∴
∴
∴.
故答案为：.
【提示】(1)利用直径所对的圆周角是直角,可得,再应用同角的余角相等可得,易得,得证；
(2)作,应用等弧所对的圆周角相等得,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得,结合三角函数特殊值可得.
【考点】圆的相关性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,圆周角定理.
18.【答案】(1)23
(2)77.5
(3)甲学生在该年级的排名更靠前.
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,
八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,
∴甲学生在该年级的排名更靠前.
(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为(人).
【解析】解：(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有人,故答案为：23；
(2)七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数,而第25、26个数据分别为78、79,
∴,
故答案为：77.5；
(3)甲学生在该年级的排名更靠前.
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分,其名次在该班25名之前,
八年级学生乙的成绩小于中位数78分,其名次在该班25名之后,
∴甲学生在该年级的排名更靠前.
(4)估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为(人).
【提示】(1)根据条形图及成绩在这一组的数据可得；
(2)根据中位数的定义求解可得；
(3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
(4)用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得.
【考点】统计知识的实际应用
19.【答案】解：∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∴,
∴,
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
【解析】解：∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∴,
∴,
答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.
【提示】由三角函数求出,得出,在中,由三角函数得出,即可得出答案.
【考点】解直角三角形的实际应用.
20.【答案】解：(1)设A的单价为元,B的单价为元,
根据题意,得,
∴,
∴A的单价30元,B的单价15元；
(2)设购买A奖品个,则购买B奖品为个,购买奖品的花费为W元,
由题意可知,,
∴,
,
当时,W有最小值为570元,
即购买A奖品8个,购买B奖品22个,花费最少.
【解析】解：(1)设A的单价为元,B的单价为元,
根据题意,得,
∴,
∴A的单价30元,B的单价15元；
(2)设购买A奖品个,则购买B奖品为个,购买奖品的花费为W元,
由题意可知,,
∴,
,
当时,W有最小值为570元,
即购买A奖品8个,购买B奖品22个,花费最少.
【提示】(1)设A的单价为元,B的单价为元,根据题意列出方程组,即可求解；
(2)设购买A奖品个,则购买B奖品为个,购买奖品的花费为W元,根据题意得到由题意可知,,,根据一次函数的性质,即可求解.
【考点】二元一次方程组,不等式及一次函数解决实际问题.
21.【答案】(1)一
(2)图象如下所示：

(3)①8
②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况,
联立和并整理得：,
时,两个函数有交点,
解得：；
(4)
【解析】解：(1)都是边长,因此,都是正数,
故点在第一象限,
答案为：一；
(2)图象如下所示：

(3)①把点代入得：
,解得：；
②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况,
联立和并整理得：,
时,两个函数有交点,
解得：；
(4)由(3)得：.
【提示】(1)都是边长,因此,都是正数,即可求解；
(2)直接画出图象即可；
(3)①把点代入即可求解；②在直线平移过程中,交点个数有：0个、1个、2个三种情况,联立和并整理得：,即可求解；
(4)由(3)可得.
【考点】反比例函数与一次函数图象的应用.
22.【答案】1

(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.

图2
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为.
(3)如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.

图3-1
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴A,D,C,B四点共圆,
,,
∴,
∴,设,则,,
∴.
如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：,设,则,,

图3-2
∴,
∴.
【解析】解：(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.

图1
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是,
故答案为1,.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.

图2
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为.
(3)如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.

图3-1
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴A,D,C,B四点共圆,
,,
∴,
∴,设,则,,
∴.
如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：,设,则,,

图3-2
∴,
∴.
【提示】(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明,即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.
(3)分两种情形：①如图3-1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明AD=DC即可解决问题.
②如图3-2中,当点P在线段CD上时,同法可证：解决问题.
【考点】图形变换,规律探究.
23.【答案】解：(1)当时,,
∴点C的坐标为；
当时,,
解得：,
∴点A的坐标为.
将,代入,得：
,解得：,
∴抛物线的解析式为.
(2)①∵轴,
∴,
∴分两种情况考虑,如图1所示.

图1
(i)当时,轴,
∴点P的纵坐标为.
当时,,
解得：,,
∴点P的坐标为；
(ii)当时,设PC与x轴交于点D.
∵,,
∴.
又∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴点D的坐标为.
设直线PC的解析式为,
将,代入,得：
,解得：,
∴直线PC的解析式为.
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得：,
解得：,,
点P的坐标为.
综上所述：当是直角三角形时,点P的坐标为或.
②当时,,
解得：,,
∴点B的坐标为.
∵点P的横坐标为,
∴点P的坐标为,
∴直线PB的解析式为(可利用待定系数求出).
∵点B,关于点C对称,点B,,P到直线l的距离都相等,
∴直线l过点C,且直线,
∴直线l的解析式为.

【解析】解：(1)当时,,
∴点C的坐标为；
当时,,
解得：,
∴点A的坐标为.
将,代入,得：
,解得：,
∴抛物线的解析式为.
(2)①∵轴,
∴,
∴分两种情况考虑,如图1所示.

图1
(i)当时,轴,
∴点P的纵坐标为.
当时,,
解得：,,
∴点P的坐标为；
(ii)当时,设PC与x轴交于点D.
∵,,
∴.
又∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴点D的坐标为.
设直线PC的解析式为,
将,代入,得：
,解得：,
∴直线PC的解析式为.
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得：,
解得：,,
点P的坐标为.
综上所述：当是直角三角形时,点P的坐标为或.
②当时,,
解得：,,
∴点B的坐标为.
∵点P的横坐标为,
∴点P的坐标为,
∴直线PB的解析式为(可利用待定系数求出).
∵点B,关于点C对称,点B,,P到直线l的距离都相等,
∴直线l过点C,且直线,
∴直线l的解析式为.

【提示】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标,根据点A,C的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式；
(2)①由轴可得出,分及两种情况考虑：(i)当时,轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；(ii)当时,设PC与x轴交于点D,易证,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标,根据点C,D的坐标,利用待定系数法可求出直线PC的解析式,联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标.综上,此问得解；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P的坐标,根据点P,B的坐标,利用待定系数法可求出直线PB的解析式,结合题意可知：直线l过点C,且直线,再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式.
【考点】二次函数的图象和性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,中位线定理,一次函数的性质,分类讨论思想.