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2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析
一、选择题
1.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.
A. B. C. D.
3.的值为（ ）
A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4
4.
A. B.
C. D.
5线性无关的解，则
A.0 B.1 C.2 D.3
6.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵
2、若，且，则二次型的规范形为
A.. B..
C.. D..
7.设为随机事件，则的充分必要条件是
A.
B.
C.
D.
8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则
A.与无关，而与有关.
B.与有关，而与无关.
C.与都有关.
D.与都无关.
二． 填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.
9.
10. 曲线的拐点坐标为
11. 已知，则
12. A, B两种商品的价格为,,A商品的价格需求函数为,则当=10，=20时，A商品的价格需求弹性()=
13. 设，，若有无穷多解，则a=
14 设随机变量的概率密度为 为的分布函数，为的数学期望，
3、则 .
三、解答题
15.已知函数，求
16.设具有连续的2阶偏导数，
17.显微分方程满足条件的特解.
（1） 求
（2） 区域D，D绕轴旋转的旋转体的体积
18.求曲线与x轴之间图形的面积。
19.设，n=（0，1，2…）
（1）证明数列单调减少，且（n=2，3…）
（2）求.
20.设向量组Ⅰ.
Ⅱ.
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求，并将用表示
21.已知矩阵
（1）求，
（2）求可逆矩阵使得
22.已知随机变量相互独立，服从参数为1的指数分布，令.
（1）Z的概率密度
（2）
（3）
23.设随机变量的概率密度为
为已知参数，为未
4、知参数，A常数，
.
（1）求A；
（2）求的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学三）
1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 解：
当时，.
当时，.
当时，，
，
.
故.
令，得.
（1）当单调递减，
当单调递增，
故为极小值.
（2）当单调递增，
当单调递减，
故为极大值.
（3）当单调递减，
当单调递增，
故为极小值.
16. 解：
17.
18.
19.
5、
20.解：
（1）当，即时，，此时两个向量组必然等价，且.
（2）当时，
此时两个向量组等价，.
（3）当时，.
此时两个向量组不等价.
21.（1）与相似，则，，即，解得
（2）的特征值与对应的特征向量分别为
，；，；，.
所以存在，使得.
的特征值与对应的特征向量分别为
，；，；，.
所以存在，使得.
所以，即
其中.
22.解：（1）的分布函数
从而当时，；当时，
则的概率密度为.
（2）由条件可得，又，从而当时，，即不相关.
（3）由上知当时，相关，从而不独立；当时，而，，显然，即不独立. 从而不独立.
23. 解：（1）由，令，则，
从而.
（2）构造似然函数，当时，取对数得，求导并令其为零，可得，解得的最大似然估计量为.
(答案仅供参考)
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