高考复习——《机械振动》典型例题复习.doc

九、机械振动
一、知识网络

二、画龙点睛

概念

1、机械振动
(1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。
(2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
(3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性
2、简谐运动
(1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。

(2)振动形成的原因
①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。
振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。
(3)振动过程分析
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
对O点位移的方向怎样？大小如何变化？
向右
减小
向左
增大
向左
减小
向右
增大
回复力的方向怎样？大小如何变化？
向左
减小
向右
增大
向右
减小
向左
增大
加速度的方向怎样？大小如何变化？
向左
减小
向右
增大
向右
减小
向左
增大
速度的方向怎样？大小如何变化？
向左
增大
向左
减小
向右
增大
向右
减小
动量的方向怎样？大小如何变化？
向左
增大
向左
减小
向右
增大
向右
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
(4)简谐运动的力学特征
①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。
②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为
F＝－kx
式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。
③简谐运动的运动学特征
a＝－ x
加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。
简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。
例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。
证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得
ｘ0＝mg/k
当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为
F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0)
则Ｆ＝－kx
所以此振动为简谐运动。
3、振幅、周期和频率
⑴振幅
①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。
②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。
③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。
④振幅和位移的区别
①振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离；而位移是振动物体所在位置与平衡位置之间的距离。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的③学生代表答：
③位移是矢量，振幅是标量。
④振幅等于最大位移的数值。
⑵周期和频率
O
A
A′
①全振动
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也就是连续的两次位置和振动状态都相同时所经历的过程，叫做一次全振动。
②周期和频率
a、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期，单位：s。
b、频率：单位时间内完成的全振动的次数，叫频率，单位：Hz，1Hz＝1 s－1。
c、周期和频率之间的关系：
T＝
d、研究弹簧振子的周期
弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，质量较小时周期较小，劲度系数较大时周期较小。周期与振幅无关。
e、固有周期和固有频率
对一个确定的振动系统，振动的周期和频率只与振动系统本身有关，所以把周期和频率叫做固有周期和固有频率。
例题：如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。⑴最大振幅A是多大？⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？
解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。
⑴最大振幅应满足kA=mg, A=
⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg

例题：一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下面说法正确的是( )
A．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，别△T一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于的整数倍
C．若△t=T，则在t时刻和 （t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等 。-
D．若△t=，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等
解析：如图为某一物体的振动图线，对 A选项图中的B、C两点的振动位移的大小、方向相同，但△t≠T ，A错． B、C两点速度大小相同，方向相反，△t≠T，故A、B均不对．对C选项，因为△t=T，所以t和t +△t时刻振子的位移 、速度、加速度等都将周期性重复变化，加速度相同，C对．对D选 ，△t= T ，振子位移大小相同方向相反，弹簧的形变相同，但弹簧的长度不一定相同，D错．
4、简谐运动的图象
⑴简谐运动图象：简谐运动的位移—时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线。
⑵简谐运动振动图象的特点所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线。
(3)简谐运动图象的物理意义表示振动物体相对于平衡位置的位移随时间的变化情况，或反映位移随时间的变化规律。振动图象描述的是一个振动质点在各个不同时刻相对于平衡位置的位移，不是反映质点的运动轨迹。
⑷简谐运动振动图象的应用
x/cm
t/s
O
4
－4
T
T
0.2
0.8
0.6
0.4
t
x
①判断振动的性质
②读出振动的振幅A
③读出任意时刻t对平衡位置的位移
④读出振动的周期T
⑤判断任意时刻回复力和加速度的方向
⑥任意时刻的速度方向
⑦图象随时间的变化
例题：某物体始终在做简谐运动，某时刻开始计时，得到的振动图象如图所示，则：
x/cm
t/×10－2s
O
2
－2
1
4
3
2
①该振动的振幅是_______，周期是________。
②若振动所在的直线向右规定为离开平衡位置位移的正方向，那么1.5×10－2 s时刻的物体的运动方向是________，加速度的方向是_________。
③物体在2.5×10－2ｓ时刻，动能正在_______，动量的大小正在_______(填“增大”或“减小”)
④计时开始前2×10－2ｓ时刻，物体的位移大小为_______，速度方向_______，加速度大小________。
⑤0～10×10－2ｓ时间内物体还有_____次与零时刻的速度相同(即运动状态相同)。
⑥0～10×10－2ｓ时间内物体共有_____次速度与1.5×10－2ｓ时刻的速度相同。
⑦若将1×10－2ｓ时刻取做零时刻，并将原来规定的正方向规定为负方向，画出振动的图象。
x/cm
t/×10－2s
O
2
－2
1
4
3
2
参考答案： ①2cm，4×10－2ｓ；②向左，向左；③减小，减小；④0，向左，0；⑤2；⑥5 ；⑦

5、(1)单摆：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
①单摆的平衡位置：摆球静止时，受力平衡的位置，就是单摆的平衡位置。
②单摆的摆动摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
(2)、单摆做简谐运动
①单摆的回复力
重力G沿圆弧切线方向的分力提供了使摆球振动的回复力。
也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。
F′
G
O
A
A′
G
F′
L
θ
G1
G2
F＝Ｇ1＝mgsinθ
②单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sinθ≈
又回复力Ｆ＝mgsinθ
所以单摆的回复力为

在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。
③单摆做简谐运动的条件
单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在10º以内，误差不超过0.5%。
⑶单摆振动的周期

(T跟L的二次方根成正比，跟g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关)
⑷单摆的应用
①利用单摆的等时性计时
②测定当地的重力加速度由得，测出单摆的摆长l和周期T，则可计算出重力加速度g．
例题：一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N，他们只能在图中平面内摆动，某一瞬间出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是( )．
A．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止
B．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动
C．车厢做匀速直线运动，M静止，N在摆动
D．车厢做匀速直线运动，M静止，N也静止
解析：车做匀速直线运动与静止，在分析车中物体 摆动的情况是一样的；故A、B均正确.假如车做做速运动时M静止则不符合牛顿运动定律，其所受合力不可能为零,C错．如车向右匀加速直线运,N静止亦不可能,违背牛顿运动定律，其所受合力应提供和车等大的加速度，故D也错误。
例题：细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方1／2摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示．现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是( )．
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
解析：由图可知，摆球往返一次运动的周期T=+ =π+π ( 线长设为l)，而无钉子时单摆周期T=2π ，所以TC、D均错
例题：已知在单摆 a 完成10次全振动的时间内，单摆 b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m．则两单摆摆长l与l分别为( )．
A．l= 2.5m， l=0.9m B．l= 0.9m， l=2.5m
C．l=2.4m， l=4.0m D．l=4.Om， l=2.4m
解析：设振动时间为t，由题意得：
=2π ，=2π，所以=。
故所以=，
所以L=0.9(m),L=2.5(m)
例题：一单摆在山脚下，在一定时间内振动了N次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1）次，由此山高度约为地球半径的多少倍？
解析：以g1、g2分别表示山脚和山顶处的重力加速度，则此单摆在山脚与山顶处的振动周期分别为T1=2π，T2=2π
依题意得，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N次，而在山顶上振动（N-1）处，有2πN =2π（N-1）
所以 （1）
又设山脚离地心距离为R1，山顶离地心距离为R2，以M表示地球的质量。根据万有引力定律，有
g1= ，g2= 得
由（1）(2)得，R2= R1
此山的高度 h=R2-R1= R1
故此山的高度为地球半径的 倍

6、相位：相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。

(1)简谐运动的振动方程
x＝Asin(ωt＋)
A代表振动的振幅，ω叫做圆频率，ω＝2πf，(ωt＋)表示简谐运动的相位，叫做初相位，简称初相。
(2)两个同频率简谐运动的相位差
(ωt＋2)－(ωt＋)＝2－1
7、简谐运动的能量
x
t
O
⑴振动系统的总能量跟振幅有关
简谐运动是理想化的振动，振动系统的能量与振幅有关，振幅越大，能量越大。振动过程中系统的能量守恒，振幅保持不变。
⑵阻尼振动、无阻尼振动
①阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。
x
t
O
阻尼振动的图象如图所示。
②无阻尼振动振幅保持不变的振动，叫做无阻尼振动，也叫等幅振动。
无阻尼振动的图象
8、受迫振动
(1)驱动力：使系统持续地振动下去的外力，叫驱动力。
(2)受迫振动：物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动。
(3)受迫振动的特点
①物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率；
②受迫振动的频率跟物体的固有频率没有关系。
9、共振
(1)共振
驱动力频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。驱动力的频率f跟固有频率f′相差越大，振幅越小。
(2)发生共振的条件
驱动力频率与物体的固有频率相等或接近。
(3)共振曲线
纵轴：表示受迫振动的振幅。
横轴：表示驱动力的频率。
特点：当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振动的振幅最大；驱动力频率与固有频率相差越大，物体的振幅越小。
⑷声音的共鸣声音的共振现象叫共鸣。
⑸共振的应用和防止
①利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率
②防止共振时，应使驱动力的频率与振动物体的固有频率不同，而且相差越大越好
例题：如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大加速度和最大速度大小各为多少？（g取10m/s2）
解析：这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目，本题涉及到的知识点有受迫振动、共振的概念和规律、单摆摆球做简谐运动及固有周期、频率能量的规律等，由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz即f周=f=0.5Hz
振幅A=8cm=0.08m,∴由T=1/f=2π ,得l=
∴摆长l= =1m
如图，当θm最大摆角（共振时）
θm<100时，F=mgsinθm =mgθm=mg，其中θm以弧度为单位，当θm很小时，sinθm=θm，弦A近似为弧长。
∴am= = A= ×0.08m/s2=0.8m/s2
根据单摆机械能守恒，即 mv2m=mgl(1-cosθm)，
且(1-cosθm)=2sin22 （θm很小）
∴vm=A=0.08×m/s=0.25m/s

规律

1．简谐运动是最简单、最基本的机械振动，它受力的特征是F回＝－kx，运动的特征是，能量特征是系统的机械能守恒．判断一个物体是否做简谐运动可以从受力特征或运动特征去判断，即证明出F回＝－kx或可判断物体是否做简谐运动．
2．对简谐运动的规律，要求定性弄清三个物理量的变化：①位移x是以平衡位置为起点，指向末位置的有向线段，在两个“端点”最大，在平衡位置为零．②加速度a的变化与回复力F回的变化一致，在两个“端点”最大，在平衡位置为零；方向总是指向平衡位正．③速度v的变化与加速度a的变化恰好相反，在两个“端点”为零，在平衡位置最大．除两个“端点”外任何一个位置的速度方向都有两种可能．
3、全振动是指物体先后两次运动状态(位移和速度)完全相同所经历的过程，振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅．
例题：已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
解析：该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为和，因此该摆的周期为 ：
例题： 固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。
解析：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。

例题：将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断：①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1.1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0.6s。上述判断中正确的是
A.①③ B.②④ C.①② D.③④

解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s。因此答案③④错误。本题应选C。
例题： 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是
A.降低输入电压 B.提高输入电压
C.增加筛子质量 D.减小筛子质量
解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固< f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。