2023年上海市大同杯数学竞赛含答案.doc

2023年上海初三数学竞赛（大同中学杯）
（2023年12月6日）
解答本题可以使用科学计算器
一填空题（每小题10分，共80分）
1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则的面积为______________。
解答：依据切割线定理可以得到：。
由于可以得到
因此有。
由于AB为圆O的直径，所以时直角三角形。
依据勾股定理有。
而
2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。
解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为种，由于没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应当涉及两种下面情况
第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为
第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两个，取法有.
这样和为奇数一共有种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为
3、实数满足，，，则的值为____________。
解答：由于
上述①②两个相减，得到：。由于
所以有。
上述①②相加得到
所以。因此

4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．
解答：设这三个素数为。则有。由于23是素数，从，可以得到23可以整除三个素数的积。从而可以得到其中有一个素数必为23。假设
这样就有
由于为素数，所以得到或
这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。
5. 如图，圆与圆 外切于点P ，从圆上点A 作圆的切线AB ， B 是切点，连接
AP 并延长，与圆交于点C ．已知圆 、圆的半径分别为2、1，则
________．
解答：做如图所示的辅助线。可以得到

为此设，则
应用切割线定理有：

所以。
6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，ÐMON 的两边分别是射线 y = x(x ³ 0)与x轴正
半轴．点A(65)，B(10,2)是ÐMON 内的两个定点，点P、Q分别是ÐMON 两边上的
动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．
解答：本题重要就是应用对称。应为四边形
ABQP ，其中一个边AB为定值。规定四边形
ABQP 周长的最小值，只规定此外三边的最小值。
从对称可以得到,.
四边形此外三边的最小值为
依据两点间距离公式有
。，
从而最小值为。
7. 不定方程的整数解共有________组。
解答：设，所以从，可以得到
所以。
这样是方程的两个根，并且根为整数。
所以。因此有。
同时要保证为整数。这样就有，，，，
当时，
当时，方程为方程没有整数解。
当时，方程为方程没有整数解。
当时，方程为方程，有整数解为2,4。所以或
当时，方程为方程，有整数解为4,4。所以
整数解共有4组
8. 设是给定的正实数， 是给定的大于1 的整数，实数 满足，则
的最大值________________。
解答：
由于

有这样的一个结论，由于

而
所以最大值为
二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分）
9. 如图，在△ABC中，BC = a，CA = b，ÐACB = 60°，△ABD是正三角形，P是其中
心，求CP 的长度．
解答：分析作D点关于AB的对称点。

则为等边三角形，这样就有，已知ÐACB = 60°
所以四点共圆。这个圆过P
点。连接AP，BP。
由于P是正三角形ABD的中心，所以

由于A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为
圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理
可以得到
所以。
10. 在1，2，… ，2023 这2023 个正整数中选出个数，使得其中任意两个不同的数的和
都不是50 的倍数，求k 的最大值．
解答：由于所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，… ,47,48,49。共50中情况。而。
下面吧从1,2，… ，2023这2023个数被50除，余数的情况列表如下。
余数
1
2
…
15
…
24
25
26
…
48
49
0
第1行
1
2
…
15
…
24
25
26
…
48
49
50
第2行
51
52
…
65
…
74
75
76
…
98
99
100
第3行
101
102
…
115
…
124
125
126
…
148
149
150
…
…
…
…
…
…
…

…
…
…
…
第40行
1951
1952
…
…

1998
1999
2023
第41行
2023
2023
…
2023
…

第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。
第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。
以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为
这样集合为这样式样

50这个数可以换成1到2023之间50的倍数任意一个数。
因此的最大值为977.
11. 已知△ABC的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为△ABC的重心和内心，
且ÐGIC = 90°，求边AB的长度．
解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特性
还是可以找到解题的途径的。
由题意知道ÐGIC = 90°，并且CI平分,出现角平分+垂直
的特性。这样可以构造出三角形。为此延长GI和反向延长GI.
很容易得到为等腰三角形，也就是
过垂心G和内心I分别做AC和BC边的垂线。设的内接圆
的半径为。
由面积法得到：

也就是
所以
由于G为三角形ABC的重心，可以得到

用面积法有：

化简为
也就是
，由于为正整数
所以得到，则
为此为方程的两个根。

有。因此
当时，方程为所以此时。因此。
当时，方程为没有整数解。
因此。

12. 设是正整数， 不是 4的倍数，求证：不是完全平方数．
证明：，当为同奇数，或者同偶数时，可以得到一定是4的倍数。已知 不是 4的倍数，所以中一个为奇数，一个为偶数。
假设。由于由于可以被8整除。
所以此时被8除余5.由于要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。
假如，由于

从而可以被8整除，所以此时被8除余5.由于要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。
综合可以得到：不是完全平方数．