九年级(上)数学竞赛试题含答案.doc

九年级数学
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知，，则代数式的值为（ ）
A.9 B.±3 C.3 D. 5
2．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）
(第3题)
A
B
O
P
x
y
y=x
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则使y=k成立的x值恰
好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．方程的所有整数解的个数是（ ）个
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010，）
（C）（2012，） （D）（0，2）

二、填空题（每小题5分，共30分）
7．当分别等于，，，，，，，，，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 ．
8．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
9．△ABC的三边长、、满足，，则△ABC的周长等于 ．
10．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（于两点. 若，则 的值为 .

（第10题）

（第12题）
（第11题）

11．如图，直径为6的半径，绕点逆时针旋转60°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是　　　　　　．
12．如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，则△AOB面积的最小值是 ．
三、解答题（每小题15分，共60分）
13、在实数范围内，只存在一个正数是关于的方程的解，求实数 的取值范围．

14．阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．
求证：ACE是奇异三角形；
当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

15.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

B(0,4)
A(6,0)
E
F

O
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

16.设为正整数，证明：
（1）、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；
（2）、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积．

参考答案
一、选择题
1.C 2．A 3．B 4．D 5. C 6. B
6.解：由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．
根据对称关系，依次可以求得：
，，，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），
由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题
7．6 8.0 9．12 10．6. 11． 12．12
12．解：设一次函数解析式为，则，得，令得，则OA＝．
令得，则OA＝．

所以，三角形AOB面积的最小值为12．
三、解答题
13、原方程可化为，①
（1）当△＝0时，，满足条件；
（2）若是方程①的根，得，．此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；
（3）当方程①有异号实根时，，得，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根。
综上所述，满足条件的的取值范围是或或．
14. 解：（1）真命题
（2）在RtABC 中a2＋b2＝ c2，
∵c＞b＞a＞0
∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2
∴若RtABC是奇异三角形一定有2b2＝c2＋ a2
∴2b2＝a2＋（a2＋b2）
∴b2＝2a2　得：b＝a
∵c2＝b2＋ a2＝3a2
∴c＝a
∴a：b：c＝1：：
(3)∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°
在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2
在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2
∵点D是半圆的中点
∴＝

∴AD＝BD
∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2
∴AC2＋CB2＝2AD2
又∵CB＝CE，AE＝AD[来源:21世纪教育网]
∴AC2＝CE2＝2AE2
∴ACE是奇异三角形
由可得ACE是奇异三角形
∴AC2＝CE2＝2AE2
当ACE是直角三角形时
由（2）可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：： 1
（Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：：时
AC：CE＝1：即AC：CB＝1：
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC＝30°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝60°
(Ⅱ)当AC：AE：CE＝：： 1时
AC：CE＝： 1即AC：CB＝： 1
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC＝60°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°
∴∠AOC＝2∠ABC ＝120°
∴∠AOC的度数为60°或120°
15．解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的
取值范围是1＜＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形
16. 证明：（1）、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，
则为两个连续正整数的乘积； 5分
（2）、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则 … ①
于是，是的倍数，且是奇数；设，由①得，
… ②
因此，即，它是两个连续正整数的乘积.15分

- 10 -