数学北师大版八年级下册三线合一.doc

专题训练(六)__“三线合一”好解题

►　类型之一　证明线段相等
1．已知：如图6－ZT－1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.

图6－ZT－1
[解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得∠DBE＝∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E＝30°.由此可得结论．
证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”)
∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB为△CDE的外角，∠ACB＝60°，
∴∠CDE＋∠E＝60°.
∴∠CDE＝∠E＝30°.
又∵∠DBE＝30°，
∴BD＝DE.(等角对等边)
2．如图6－ZT－2所示，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.
求证：AD＝AE.

图6－ZT－2
[解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，BD＝EC且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明．
证明：过点A作AF⊥BC于点F.

图ZT－6－1
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)
又∵BD＝CE，
∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF，
∴AF是DE的垂直平分线，∴AD＝AE.
►　类型之二　证明两线垂直
3．如图6－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC.

图6－ZT－3
[解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得DB＝DC，再加上条件AB＝AC，公共边AD＝AD，可利用SSS证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出AD⊥BC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法．
证明：延长AD交BC于点M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC.

图ZT－6－2
4．如图6－ZT－4，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBC＝∠BAC.求证：AC⊥BD.

图6－ZT－4
[解析] 首先过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F.由AB＝AC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠CAE＝∠BAC，又由∠DBC＝∠BAC，在△ADF与△BEF中，易证得∠ADF＝∠BEF＝90°，即可得AC⊥BD.
证明：如图ZT－6－3，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F.

图ZT－6－3
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC.(等腰三角形的“三线合一”)
又∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠DBC.
∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－∠CAE，∠BEF＝180°－∠1－∠DBC，
∴∠ADF＝∠BEF.
∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°.
∴∠ADF＝90°.∴BD⊥AC.
►　类型之三　证明角的倍分关系
5．已知：如图6－ZT－5所示，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，AE＝ED，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M，∠F＝∠MCD.求证：∠BAC＝2∠MPC.

图6－ZT－5
[解析] 先由AF平分∠BAC证明∠BAE＝∠BAC，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明∠CDE＝∠BAE.从而∠CDE＝∠BAC.然后在△MDC和△MPF中证明∠MDC＝∠MPF.进而得∠MPF＝∠MDC，∠MPC＝∠CDE＝∠BAC即可．
证明：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，CE＝BE.
∵CE⊥AE，AE＝ED，
∴AC＝CD.
∴∠CDE＝∠CAE＝∠BAC.
∵BC⊥AF，CE＝BE，
∴CM＝BM.
∴∠CMA＝∠BMA.
又∵∠BMA＝∠PMF，
∴∠CMD＝∠PMF.
又∵∠F＝∠MCD，∠MPF＝180°－(∠F＋∠PMF)，∠MDC＝180°－(∠MCD＋∠CMD)，∴∠MPF＝∠MDC.
∴∠MPC＝∠CDE＝∠CAE＝∠BAC.
∴∠BAC＝2∠MPC.
►　类型之四　证明线段的倍分关系
6．如图6－ZT－6，在△ABC中，AB＝AC，点E为BC上一点，ED⊥BC于点E，交CA的延长线于点F，求证：AD＝AF.

图6－ZT－6
[解析] 方法一：由AB＝AC，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠C.又由DE⊥BC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得∠F＝∠ADF，又由等角对等边，可证得AD＝AF.

图ZT－6－4
方法二：过点A作AG⊥BC，由等腰三角形的“三线合一”可得∠BAG＝∠CAG.再由平行线的性质证明∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.进而可得结论．
证明：(方法一)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BDE＝90°.
∴∠F＝∠BDE.
∵∠ADF＝∠BDE，
∴∠F＝∠ADF.
∴AD＝AF.
(方法二)如图ZT－6－4，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，
∴∠BAG＝∠CAG.(等腰三角形“三线合一”)
∵AG⊥BC，ED⊥BC，
∴AG∥EF.
∴∠F＝∠CAG，∠ADF＝∠BAG.
∴∠F＝∠ADF.
∴AD＝AF.
7．[2013·五河期末改编] 如图6－ZT－7所示，过等边三角形ABC的边AB上一点P，
作PE⊥AC于点E.Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC边于点D.
求证：(1)PD＝DQ；
(2)DE＝AC.

图6－ZT－7
[解析] (1)过点P作BC的平行线交AC于点F，通过证明△PDF和△QDC全等，可推出PD＝DQ；
(2)由△APF是等边三角形和PE⊥AC，可推出AE＝EF＝AF.由△PDF和△QDC全等，可得出FD＝CD＝FC，进而可得DE的长．
证明：(1)过点P作PF∥BC，交AC于点F.

图ZT－6－5
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.
又∵PF∥BC，
∴∠APF＝∠AFP＝∠B＝∠ACB＝60°.
∴△APF是等边三角形．∴PA＝AF＝PF.
又∵PA＝CQ，∴PF＝CQ.
∵PF∥BC，∴∠FPD＝∠Q.
在△PFD和△QCD中，
∵
∴△PDF≌△QDC.(AAS)
∴PD＝QD.
(2)由(1)知PA＝AF，又∵PE⊥AC，∴AE＝EF＝AF.(等腰三角形的三线合一)
由(1)知△PDF≌△QDC，∴FD＝CD＝FC.
∴DE＝EF＋FD＝AF＋FC＝(AF＋FC)＝AC.