八年级数学上册第四章一次函数.doc

第四章 一次函数
一． 函数
1.函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了唯一的y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。也就是说，函数是两个变量之间的关系。
注意：（1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量y与x，可以说y是x的函数，不能说y是函数（2）函数是有顺序性的，如y=0.5x+3表示y是x的函数，而变形后的等式x=2y-6,则表示x是y的函数

2.自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
3. 函数的三种表示法
列表法、关系式法（一定要是等式）、图像法

【例1】下列关于变量x,y的关系式：①x-3y=1;②y=∣x∣;③2x-y2=9.其中y是x的函数的是 ，
x是y的函数的是
变式训练：
1.下列关系式中哪些是函数，哪些不是？

【例2】写出下列函数关系中自变量的取值范围

【例3】写出y与 x的函数关系式并指出自变量的取值范围
（1） 一个长方形周长为24，一边长为x, 面积为y

（2） 一个长方形菜园，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，垂直于墙的一边为x，菜园的面积为y

变式训练：
1.写出下列函数关系式，并写出自变量的取值范围
（1） 周长为24的等腰三角形，它的底边长y与腰长x之间的函数关系
（2） 周长为24的等腰三角形，它的腰长y与底边长x之间的函数关系

小测验（10分钟）
1.下列四个图像中 ，不表示某一个函数图像的是（ ）

2.设路程为s，速度为v，时间为t，当s=60时，t=60/v,在这个表达式中（ ）
A. t是s的函数 B. t是v的函数 C. v是t的函数 D. v是s的函数
3.已知x-3y=6,若把y看成x的函数，则可表示为
4.已知变量x与y有如下关系：①y=x ②y =∣x∣ ③∣y∣= x ④ x2-y=0 ⑤ x-y2=0，其中y是x的函数关系的有 （填序号）
5.对于圆的周长公式C=2πR , 其中自变量是 ，因变量是 ，常量是
6.写出下列函数关系式中，自变量的取值范围

二、一次函数与正比例函数
1. 正比例函数和一次函数的概念
一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
正比例函数：y=kx（k≠0）

一次函数有 （填序号）
变式训练：
1.下列关系中符合正比例关系的是（ ）
A.距离s一定时,速度v和时间t B.圆的面积s和半径r
C.正方体的体积和棱长a D.正方形的周长C和它的边长a

其中属于一次函数的是

3.粮库有粮50t，每天运走5t，写出剩下的粮食P（t）与运粮天数t (天)的函数关系式，并指出自变量的取值范围。它是一次函数吗？是正比例函数吗？

2.一次函数和正比例函数k、b的取值问题

变式训练：

三、一次函数的图像
1.由函数关系式画其图像的一般步骤
列表→描点→连线（列表时自变量的取值一定要有一定的代表性，并且大小合适）
2、图像的特征：
一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y

0 x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0

y

0 x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

3、正比例函数和一次函数的性质
（1）正比例函数y=kx有下列性质：
①当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
②当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
（2）一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）有下列性质：
①图像经过点（0，b）[也就是与y轴的交点]
②当k>0时，y随x的增大而增大
③当k<0时，y随x的增大而减小
注：一次函数的图像是一条直线，因此一次函数y=kx+b的图像也成为直线y=kx+b

【例6】已知（-1，y1）和（1，y2）是直线y= -9x上的两点，则y1与y2的大小关系是
变式训练：
1.已知点A(-5,a)和B(4,b)在直线y= -3x-5上，则a与b的大小关系是
2. 已知点A(a，-5)和B(b，4)在直线y= -3x-5上，则a与b的大小关系是

【例7】一次函数y= -9x-5不经过的象限是
变式训练：
1. 已知一次函数y=(6+3m)x+3-2m的图像与y轴交于负半轴，且y随x的增大而增大，求m的取值范围

2.两个一次函数y1=ax+b与y2=bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图像可能是下列选项中的（ ）

3．直线y= 0.5x-3与直线y= 0.5x的关系是 ，可把直线y= 0.5x向 平移 个单位长度得到直线y= 0.5x-3

4、坐标、函数、方程之间的关系（※※※）
坐标
坐标就是方程的解
坐标可以转化为线段的长度

【例8】已知点P（a,b）在一次函数y= 4x+3的图像上，则代数式4a-b-2的值为
变式训练：
1.已知点（3,2）在一次函数y= mx+n（m,n为常数，且m≠0）的图像上，则3m-2n=
2.已知点3,5）在直线y= mx+n（m,n为常数，且m≠0）的图像上，则5（3a+b）=
【例9】一次函数y=5x-10的图像与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为
变式训练：
1. 直线y= -x+3与坐标轴所围成的面积是
2. 若正比例函数的图像经过点（-1,2），则这个图像必经过点（ ）
A.（1,2） B.（-1，-2） C.（2，-1） D.（1，-2）
3.在一次函数y= 2x-5中，当x由3增大到4时，y的值 ；当x由-3增大到-2时，y的值

（选做题）已知y+2与x成正比例，且当x= -2时，y=0.
（1） 求y与x之间的函数表达式
（2） 画出函数的图像
（3） 观察图像，当x取何值时，y≥0？
（4） 已知点（m，6）在该函数的图像上，求m的值
（5） 设点P在y轴的负半轴上，（2）中的图像与x轴，y轴分别交于A,B两点，且S△ABP=4，求点P的坐标。

5、一次函数与一元一次方程的关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

【例10】一次函数y=kx+b的图像如图所示，则方程kx+b=0的解为（ ）
A.x=2 B.x=-1 C.y=2 D.y=-1

变式训练：
1.若直线y=kx+b经过点（2,3），则关于x的方程kx+b=3的解为
2．直线y=2x-3交x轴于点 ，由此可知，方程2x-3=0的解为
3.方程4x-b=5的解为x=2,则直线y=4x-b一定经过点（ ）
A.（2,0） B.0,3） C.（0,4） D.（0，-3）
6.一次函数的应用
①首先要明白横坐标和纵坐标各自的意义，每个点的意义
②注意自变量的取值范围应使实际问题有意义
③同一个坐标系中，两个一次函数的图像的比较，交点的含义
④准确理解一次函数表达式中k,b的含义

【例11】甲乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长相等，如图是两队所修水渠长度y（米）与修筑时间t（时）的函数图像的一部分。请根据图中信息，解答下列问题：
(1) 直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数表达式
(2) 直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数表达式

【例12】如图，一次函数y=kx+b的图像经过A,B两点，与x轴交于点C，求一次函数的表达式及
△AOC的面积

变式训练：
1.某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种通讯方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的关系式如图所示
（1）有月租的通讯方式是 （填①或②），月租费是 元
（2）分别求出两种收费方式中y与x之间的函数表达式

2.某办公用品销售商店推出两种优惠办法：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按九折优惠。书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需买四个书包，水性笔若干支（不少于4支）。
（1）分别写出两种优惠办法购买费用y(元)与所买水性笔支数x之间的关系式
（2）小丽和同学需买这种书包4个，水性笔12支，请你计算怎样购买最经济
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