九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论例题和练习.doc

圆周角定理及其推论
一、知识点总结
1．圆心角：顶点在圆心的角．
注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．
2． 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等

考点一：圆心角，弧，弦的位置关系
二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例
例1 如图，AB为⊙O的弦，点C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD分别交⊙O于点E、F，试证明弧AE=弧BF．
分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______”
把证弧相等转化为证________________．
证明：

例2 如图，点O是∠BPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．
求证：AB=CD．
分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．

例3如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、 OC、BC．
(1)求证：∠ACO=∠BCD．
(2)若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
分析：
(1)∠ACO=∠______，
而∠______=∠______．
(2)在Rt⊿______中，利用勾股定理列方程求

例4 已知，如图，在⊿ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交⊿ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．
分析：把证BE=DE转化为证∠____=∠____．

1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（　　）
2.如图2，BE是半径为6的圆D的 14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（　　）
2、 已知 AB^、 CD^是同圆的两段弧，且 AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（　　）
A、 AB=2CD B、AB＜2CD C、AB＞2CD D、不能确定
4、下列语句中正确的是（　　）
A、相等的圆心角所对的弧相等　　　　　　　　　B、平分弦的直径垂直于弦
C长度相等的两条弧是等弧 　　　　　　　　　D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
5、 在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（　 　）
6、 有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（　 　）
7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（ ）

图1　　　　　　　　　图2　　　　 　图3
8. 如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为

9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是 CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．
1.如图1，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.
2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=　　　　．
3：如图3，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则 º．
4：如图4，⊙O的直径过弦的中点，，则 ．

O
A
B
C
图3

E
F
C
D
G
O
图4

B
O
C
A

图2 图1
4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．
考点2：圆周角定理
1、 如图，△ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（ 　　）
2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　）
3.如图AB是⊙O的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为（　　）
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（　　）

1题图　　　　　　　2题　　　　　　　　　3题　　　　　　　　　4题　　　

5：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=_______．

_

.

.

.

_
D
_
C
_
B
_
A
_
O

6：已知⊙O中，，，则⊙O的半径为 ．
7.已知：如图等边内接于⊙O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由．
A
O
C
D
P
B
图①
A
O
C
D
P
B
图②
（2）若不过圆心，如图②，又是什么三角形？为什么？

8. 如图AB是圆O的直径，C是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD⊥BC于点D，求BD的长

9.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．

10.

11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是

12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE=BE．

13.

5. 圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆
6. 圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补

如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

7. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块

B
E
D
A
C

8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。直角三角形的外心在斜边上
B
A
C
D
O

1.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

2. 如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于 。
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

A
C
B
D
E
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的半径。

思维导图如下：

综合练习一
一． 选择题
1. 如图，在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．
A．80° B．100° C．130° D．140°
2．已知，如图, AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE＝BC。其中正确的有( )个
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，设⊙O的半径为r，弦的长为a，弦与圆心的距离为d，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h，下面说法或等式：① ② ③已知r、a、d、h中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是( )
A．仅① B．②③ C．①②③ D．①③
4．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

第4题图 第5题图 第6题图
6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为( )．
A．cm B．3cm C．cm D．9cm
二、填空题
7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.

第7题 第9题
8．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________.
9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,,则∠AED= °.
10．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．
11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．
N
P
M
O
A
B
（第12题图）

（第10题图） （第11题图）
12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .
13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（2+2）x+4=0的两个根，
则∠BAC的度数为_______．

三、解答题
14.如图，在⊙O中，，OB，OC分别交AC，BD于Ｅ、Ｆ，求证

15．如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙O于G，
求证：．

16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，
求证：AF＝CF．

17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
求四边形ADBC的面积．

综合练习二
一、选择题
1、如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
2、如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

图1 图2 图3
3、过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．
4、如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
5、如图4，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（　　　）
A． B． C． D．

如图4 如图5 如图6
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7、如图5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A．5米 B．8米 C．7米 D．5米
8、有4个命题，①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是( )
　　A．①③ 　　　B．①③④ 　　　C．①④ 　　　D．①
9、在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是( )
　　A．7cm 　　　B．1cm 　　　C．5cm　　　 D．7cm或1cm
10、 如图6，EF是⊙O直径，OE=5cm，弦AB=8cm，EF两点到MN的距离之和等于( )
　　A．12cm 　　　B．6cm 　　　C．8cm 　　　D．3cm

二，填空题
1、 A、B是半径为2的⊙O上不同两点，则AB的取值范围是________．
2、在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成_______个部分．
3、如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB交于E，若________，则CE=DE(只需填写一个)；
4、某圆半径为4cm，一弦中点到所对劣弧中点的距离为2cm，则此弦长为________；
　5、直径30cm的⊙O中有两平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，则AB与CD的距_______；
　6、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范 ；
　7、如图，在半径为6cm的⊙O中，两弦AB⊥CD于E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB=________；

8、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD=CO，若所对圆心角度数为
40°，则所对圆心角度数为________；
9、半径为1的圆中，长度等于的弦所对圆心角是________度；
10、圆的一条弦分圆为4：5两部分，则其中优弧所对圆心角为________度．
11、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
12、过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于 cm
13、在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于

三解答题
1、 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB，CD。
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径。

2、已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．

3、如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，D为OA中点，过D作弦BC∥MN，求证：四边形ABOC为菱形．

4、直径为1Om的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是多少？

5、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条直径，弦AE∥CD，求证：．

6．已知：如图，是⊙O的直径，是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点，是弧的中点，与相交于点，8 cm，cm.求的长；

O
A
P
B
C
7、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。

O
A
B
D
C
8、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长。

O
A
B
C
D
E
9、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。

C
A
B
D
E
10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。

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